2大阪大学 2022年 数学 第2問解答・解説

$\alpha=\dfrac{2\pi}{7}$ とする。

(1) $7\alpha=2\pi$ なので $4\alpha=2\pi-3\alpha$ である。余弦の周期性と $\cos(-\theta)=\cos\theta$ より、$\cos4\alpha=\cos(2\pi-3\alpha)=\cos3\alpha$。

(2) $x=\cos\alpha$ とおく。倍角の公式と加法定理から、$\cos3\alpha=\cos(2\alpha+\alpha)=(2x^2-1)x-2x(1-x^2)=4x^3-3x$、また $\cos4\alpha=2\cos^2 2\alpha-1=2(2x^2-1)^2-1=8x^4-8x^2+1$ である。(1)より両者は等しいから、$0=8x^4-4x^3-8x^2+3x+1=(x-1)(8x^3+4x^2-4x-1)=(x-1)f(x)$。ここで $0<\alpha<\pi$ より $x=\cos\alpha<1$、したがって $x-1\ne0$ であり、$f(\cos\alpha)=f(x)=0$。

(3) $x=\cos\alpha$ が有理数だと仮定し、互いに素な整数 $p,q$（$q>0$）を用いて $x=\dfrac pq$ と表す。(2)から $f(x)=0$ なので、$8p^3+4p^2q-4pq^2-q^3=0$。これを2を法として見ると $q^3\equiv0\pmod 2$ となり、$q$ は偶数である。よって $p$ は奇数であり、$q=2r$ とおける。上の等式を8で割ると $p^3+p^2r-2pr^2-r^3=0$ となるが、左辺は2を法として $1+r-0-r\equiv1\pmod 2$ であり、0にはならない。矛盾である。ゆえに $\cos\alpha$ は無理数である。