6京都大学 2022年 数学 第6問解答・解説

数学B「数列」と数学II「三角関数」：$z_n=y_n+\frac{n(n-1)}2$ とおき、$z_n$ の3で割った余りから余弦項を確かめて帰納法で示す。

解答
$$x_n-y_n=\frac{n(n-1)}2\qquad(n=1,2,3,\ldots).$$

証明
$$T_n=\frac{n(n-1)}2,\qquad z_n=y_n+T_n$$
とおく。$x_1=0$、$y_1=0$、$T_1=0$ だから $x_1=z_1$ である。次に、$z_n$ の3で割った余りを調べる。

$n=3m+1$ なら
$$z_n=3m+\frac{3m(3m+1)}2$$
は3の倍数である（$m(3m+1)$ は偶数）。$n=3m+2$ なら
$$\frac{(3m+1)(3m+2)}2 =1+\frac{9m(m+1)}2\equiv1\pmod3$$
であるため、$z_n=3m+2+\frac{(3m+1)(3m+2)}2$ は3の倍数である。ここでは $m(m+1)$ が偶数であることを用いた。$n=3m+3$ なら
$$\frac{(3m+2)(3m+3)}2 =3\frac{(3m+2)(m+1)}2$$
は3の倍数である（$(3m+2)(m+1)$ は偶数）から、$z_n=3m+4+\frac{(3m+2)(3m+3)}2\equiv1\pmod3$ となる。

従って
$$2\cos\left(\frac{2\pi z_n}{3}\right)= \begin{cases} 2,&n=3m+1\ \text{または}\ 3m+2,\\ -1,&n=3m+3. \end{cases}$$
一方、定義から
$$y_{n+1}-y_n= \begin{cases} 2,&n=3m+1\ \text{または}\ 3m+2,\\ -1,&n=3m+3. \end{cases}$$
よって $2\cos(2\pi z_n/3)=y_{n+1}-y_n$ である。$T_{n+1}-T_n=n$ だから
$$z_{n+1}=z_n+n+2\cos\left(\frac{2\pi z_n}{3}\right).$$
$x_n=z_n$ と仮定すれば、与えられた漸化式より
$$x_{n+1}=x_n+n+2\cos\left(\frac{2\pi x_n}{3}\right) =z_n+n+2\cos\left(\frac{2\pi z_n}{3}\right)=z_{n+1}.$$
初項で一致し、帰納段階でも一致するので、すべての $n\geqq1$ で $x_n=z_n$。従って
$$x_n-y_n=T_n=\frac{n(n-1)}2.$$
最初の数項では $x_1-y_1=0,\ x_2-y_2=1,\ x_3-y_3=3$ となり、式とも一致する。