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京都大学／2022年度

1京都大学 2022年 数学 第1問解答・解説

指数関数・対数関数

1問題

京都大学2022年度第1問
5.4<log⁡42022<5.55.4<\log_{4}2022<5.5であることを示せ。ただし、0.301<log⁡102<0.30110.301<\log_{10}2<0.3011であることは用いてよい。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 5.4<log⁡42022<5.55.4<\log_{4}2022<5.5.

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

解答

(30点)
log⁡4x\log_4 x は x>0x>0 で単調増加する。上側は
2022<2048=211=411/2 2022<2048=2^{11}=4^{11/2}
より
log⁡42022<log⁡4(411/2)=112=5.5. \log_4 2022<\log_4(4^{11/2})=\frac{11}{2}=5.5.
下側を示す。d=log⁡102d=\log_{10}2 とおくと、許された範囲から 0<d<0.30110<d<0.3011。また 2022>2000=2⋅1032022>2000=2\cdot10^3 だから
log⁡42022>log⁡42000=log⁡102000log⁡104=3+d2d. \log_4 2022>\log_4 2000 =\frac{\log_{10}2000}{\log_{10}4} =\frac{3+d}{2d}.
ここで 0.3011=3011/10000<15/490.3011=3011/10000<15/49（3011⋅49=147539<1500003011\cdot49=147539<150000）なので d<15/49d<15/49。従って
3+d2d>5.4すなわち3>9.8dすなわちd<1549, \frac{3+d}{2d}>5.4 \quad\text{すなわち}\quad 3>9.8d \quad\text{すなわち}\quad d<\frac{15}{49},
が成り立つ。以上から
5.4<log⁡42022<5.5. \boxed{5.4<\log_4 2022<5.5}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 実数と無理数
  • 一次不等式
  • 対数とその性質

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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