5神戸大学 2022年 数学 第5問解答・解説

(1)
共通の値を $K=a^x=b^y=(ab)^z$ とおく。$a>1$ かつ $x\ne0$ だから $K\ne1$ であり、$L=\log K$ とおくと $L\ne0$ である。底が正なので対数をとることができ、
$$x\log a=y\log b=z\log(ab)=L$$
を得る。したがって
$$\frac1x=\frac{\log a}{L},\qquad \frac1y=\frac{\log b}{L},\qquad \frac1z=\frac{\log(ab)}{L}.$$
$\log(ab)=\log a+\log b$ より
$$\frac1x+\frac1y=\frac{\log a+\log b}{L} =\frac{\log(ab)}{L}=\frac1z.$$

(2)
$m,n$ は正であり、条件から
$$\frac1p=\frac1m+\frac1n>\frac1n$$
なので $n>p$、従って $m>n>p$ である。条件を整理すると
$$mn=p(m+n),\qquad (m-p)(n-p)=p^2.$$
ここで $m-p>n-p>0$ である。$p$ は素数なので、正の因数の組で積が $p^2$ となるものは $(1,p^2),(p,p),(p^2,1)$ である。大小関係 $m-p>n-p$ を満たすのは
$$m-p=p^2,\qquad n-p=1$$
だけである。よって
$$m=p^2+p=p(p+1),\qquad n=p+1.$$
実際、$\dfrac1{p(p+1)}+\dfrac1{p+1}=\dfrac1p$ となる。

(3)
$A=\log a$, $B=\log b$ とおくと $0<A<B$ であり、与式の対数をとって
$$mA=nB=p(A+B)$$
を得る。$mA=nB$ と $B>A>0$ から $m/n=B/A>1$、すなわち $m>n$ である。また (1) を $x=m$, $y=n$, $z=p$ に適用すると
$$\frac1m+\frac1n=\frac1p.$$
よって (2) から $m=p(p+1)$, $n=p+1$ である。さらに
$$nB=p(A+B)$$
より $(n-p)B=pA$ であり、$n-p=1$ だから $B=pA$ となる。従って
$$\log b=p\log a,\qquad b=a^p.$$