4京都大学 2022年 数学 第4問解答・解説

Bを原点とする空間ベクトルで長さ条件から必要な内積を求め、Pを辺BC上の媒介変数で表す。重心ベクトルとPGの長さの二乗を計算する。

点 $B$ を原点とし、$\overrightarrow{BA}=\vec{u}$、$\overrightarrow{BC}=\vec{v}$、$\overrightarrow{BO}=\vec{w}$ とおく。条件より $|\vec{u}|=|\vec{v}|=|\vec{w}|=3$ である。三角形の辺の長さから内積を求めると
$$\begin{aligned} \vec{u}\cdot\vec{v}&=\frac{|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-|\vec{u}-\vec{v}|^2}{2} =\frac{9+9-(2\sqrt3)^2}{2}=3,\\ \vec{v}\cdot\vec{w}&=\frac{|\vec{v}|^2+|\vec{w}|^2-|\vec{v}-\vec{w}|^2}{2} =\frac{9+9-(2\sqrt3)^2}{2}=3,\\ \vec{u}\cdot\vec{w}&=\frac{|\vec{u}|^2+|\vec{w}|^2-|\vec{u}-\vec{w}|^2}{2} =\frac{9+9-4^2}{2}=1. \end{aligned}$$$$\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac{|\vec{u}{|}^2+|\vec{v}{|}^2-|\vec{u}-\vec{v}{|}^2}{2}=\frac{9+9-(2\sqrt{3}{)}^2}{2}=3,$$$$\vec{v}\cdot \vec{w}=\frac{|\vec{v}{|}^2+|\vec{w}{|}^2-|\vec{v}-\vec{w}{|}^2}{2}=\frac{9+9-(2\sqrt{3}{)}^2}{2}=3,$$$$\vec{u}\cdot \vec{w}=\frac{|\vec{u}{|}^2+|\vec{w}{|}^2-|\vec{u}-\vec{w}{|}^2}{2}=\frac{9+9-4^2}{2}=1.$$
ここで $|\vec{u}-\vec{v}|=AC$、$|\vec{v}-\vec{w}|=OC$、$|\vec{u}-\vec{w}|=OA$ を用いた。

(1) $P$ は辺 $BC$ 上にあるから、ある $t$（$0\leqq t\leqq1$）を用いて $\overrightarrow{BP}=t\vec{v}$ と表せる。三角形 $OAP$ の重心 $G$ について
$$\overrightarrow{BG}=\frac{\vec{w}+\vec{u}+t\vec{v}}{3},\qquad \overrightarrow{PG}=\overrightarrow{BG}-\overrightarrow{BP}=\frac{\vec{u}+\vec{w}-2t\vec{v}}{3}, \qquad \overrightarrow{OA}=\vec{u}-\vec{w}.$$
したがって
$$\begin{aligned} 3\,\overrightarrow{PG}\cdot\overrightarrow{OA} &=(\vec{u}+\vec{w}-2t\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{w})\\ &=|\vec{u}|^2-|\vec{w}|^2-2t(\vec{v}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\vec{w})\\ &=9-9-2t(3-3)=0. \end{aligned}$$$$3\overrightarrow{PG}\cdot \overrightarrow{OA}=(\vec{u}+\vec{w}-2t\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{w})$$$$=|\vec{u}{|}^2-|\vec{w}{|}^2-2t(\vec{v}\cdot \vec{u}-\vec{v}\cdot \vec{w})$$$$=9-9-2t(3-3)=0.$$
よって $\overrightarrow{PG}\perp\overrightarrow{OA}$。

(2) 同じ内積を用いて長さの2乗を計算すると
$$\begin{aligned} 9PG^2&=|\vec{u}+\vec{w}-2t\vec{v}|^2\\ &=|\vec{u}|^2+|\vec{w}|^2+2\vec{u}\cdot\vec{w} -4t(\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{w}\cdot\vec{v})+4t^2|\vec{v}|^2\\ &=20-24t+36t^2=16+36\left(t-\frac13\right)^2. \end{aligned}$$$$9P{G}^2=|\vec{u}+\vec{w}-2t\vec{v}{|}^2$$$$=|\vec{u}{|}^2+|\vec{w}{|}^2+2\vec{u}\cdot \vec{w}-4t(\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{w}\cdot \vec{v})+4t^2|\vec{v}{|}^2$$$$=20-24t+36t^2=16+36{\left(t-\frac{1}{3}\right)}^2.$$
$0\leqq t\leqq1$ の範囲に $t=1/3$ が含まれるため、最小値はそこで実現する。したがって
$$PG^2_{\min}=\frac{16}{9},\qquad PG_{\min}=\frac43.$$