5京都大学 2022年 数学 第5問解答・解説

(1) 曲線と座標軸で囲まれた面積は
$$S=\int_0^{\pi/2}\cos^3x\,dx =\int_0^{\pi/2}(1-\sin^2x)\cos x\,dx =\left[\sin x-\frac{\sin^3x}{3}\right]_0^{\pi/2} =\frac23.$$

(2) 長方形の縦と横の長さはそれぞれ $\cos^3t$ と $t$ なので
$$f(t)=t\cos^3t.$$
$h(t)=\cos t-3t\sin t$ とおくと
$$f'(t)=\cos^2t\,h(t),\qquad h'(t)=-4\sin t-3t\cos t<0\quad\left(0<t<\frac\pi2\right).$$
また $h(0)=1>0$、$h(\pi/2)=-3\pi/2<0$ である。従って方程式 $h(t)=0$ は $0<t<\pi/2$ の範囲にただ一つの解 $\alpha$ をもち、$f$ は $0<t<\alpha$ の範囲で増加し、$\alpha<t<\pi/2$ の範囲で減少する。よって最大値をとる $t$ はただ一つである。$h(\alpha)=0$ より $\cos\alpha=3\alpha\sin\alpha$ だから
$$f(\alpha)=\alpha\cos^3\alpha=\frac{\cos^4\alpha}{3\sin\alpha}.$$

(3) (1), (2) より
$$\frac{f(\alpha)}S=\frac{\cos^4\alpha}{2\sin\alpha}.$$
$g(t)=\cos^4t/(2\sin t)$ とおけば
$$g'(t)=g(t)(-4\tan t-\cot t)<0\quad\left(0<t<\frac\pi2\right),$$
従って $g$ は減少する。次に $\tan u>u$ は $(\tan u-u)'=\tan^2u>0$ から $0<u<\pi/2$ で成り立つ。これを $u=\pi/6$ に用いると
$$\frac\pi6<\tan\frac\pi6=\frac1{\sqrt3},\qquad \pi<2\sqrt3.$$
ゆえに
$$h\left(\frac\pi6\right)=\frac{\sqrt3}{2}-\frac\pi4>0.$$
$h$ は減少し、$h(\alpha)=0$ なので $\alpha>\pi/6$。従って
$$\frac{f(\alpha)}S=g(\alpha)<g\left(\frac\pi6\right) =\frac{(\sqrt3/2)^4}{2(1/2)}=\frac9{16},$$
求める不等式が示された。