3名古屋市立大学 2022年 数学 第3問解答・解説

表が出た回数を $H$ とすると，10回の移動距離は $2H+(10-H)=10+H$ である。正方形の周の長さは $4$ だから，移動後の位置は $10+H$ を $4$ で割った余りで決まる。

10回のうち表が $k$ 回出る場合の数は ${}_{10}\mathrm{C}_{k}$ であり，全事象は $2^{10}=1024$ 通りである。したがって，$H$ を $4$ で割った余りが $0,1,2,3$ となる場合の数は，それぞれ
$$\begin{aligned} H\equiv0&:{}_{10}\mathrm{C}_{0}+{}_{10}\mathrm{C}_{4}+{}_{10}\mathrm{C}_{8}=1+210+45=256,\\ H\equiv1&:{}_{10}\mathrm{C}_{1}+{}_{10}\mathrm{C}_{5}+{}_{10}\mathrm{C}_{9}=10+252+10=272,\\ H\equiv2&:{}_{10}\mathrm{C}_{2}+{}_{10}\mathrm{C}_{6}+{}_{10}\mathrm{C}_{10}=45+210+1=256,\\ H\equiv3&:{}_{10}\mathrm{C}_{3}+{}_{10}\mathrm{C}_{7}=120+120=240. \end{aligned}$$$$H\equiv 0:{}_{10}{\mathrm{C}}_0+{}_{10}{\mathrm{C}}_4+{}_{10}{\mathrm{C}}_8=1+210+45=256,$$$$H\equiv 1:{}_{10}{\mathrm{C}}_1+{}_{10}{\mathrm{C}}_5+{}_{10}{\mathrm{C}}_9=10+252+10=272,$$$$H\equiv 2:{}_{10}{\mathrm{C}}_2+{}_{10}{\mathrm{C}}_6+{}_{10}{\mathrm{C}}_{10}=45+210+1=256,$$$$H\equiv 3:{}_{10}{\mathrm{C}}_3+{}_{10}{\mathrm{C}}_7=120+120=240.$$

(1) 点 $P$ は $A$ から時計回りに進むので，頂点は $A,D,C,B$ の順に並ぶ。$H\equiv2,3,0,1\pmod4$ のとき $10+H$ の余りは順に $0,1,2,3$ であるから，それぞれ $A,D,C,B$ に着く。よって，求める順に
$$P(A)=\frac{256}{1024}=\frac14,\quad P(B)=\frac{272}{1024}=\frac{17}{64},\quad P(C)=\frac{256}{1024}=\frac14,\quad P(D)=\frac{240}{1024}=\frac{15}{64}.$$

(2) 点 $Q$ は $B$ から反時計回りに進むので，頂点は $B,C,D,A$ の順に並ぶ。同じ余りの数え上げから，$Q$ が $A,B,C,D$ にある確率は順に $17/64,16/64,15/64,16/64$ である。点 $P$ と点 $Q$ の移動に使う硬貨投げは別々の10回であり，両者は独立である。両点が同じ頂点にある確率は
$$\frac{16\cdot17+17\cdot16+16\cdot15+15\cdot16}{64^2} =\frac{1024}{4096}=\frac14.$$
したがって異なる頂点にある確率は，余事象を用いて $1-\frac14=\boxed{\frac34}$ である。