3京都府立医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

赤玉数が1からnまで一度ずつ現れることを用いて箱ごとの確率を平均する。条件付き確率では、最初のm回が赤となる確率を重みとして最後の2回の事象を評価し、区分求積法で極限をとる。

赤玉の個数を各箱について考える。条件(a),(b)より，各箱の赤玉数は $1,2,\ldots,n$ のいずれかであり，条件(c)よりそれらは互いに異なる。箱は $n$ 個あるので，赤玉数 $1,2,\ldots,n$ がそれぞれちょうど一つの箱に入っている。したがって，箱を一つ選ぶと，赤玉数が $k$ 個の箱を選ぶ確率は $1/n$ である。

$$\text{(1)}$$
赤玉数が $k$ 個の箱を選んだとき，玉を戻すので各回の抽出は独立であり，最初の $m$ 回がすべて赤玉となる確率は $(k/n)^m$ である。よって
$$p_n=\frac1n\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^m =\frac1n\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right), \qquad f(x)=x^m.$$
これは連続関数 $f$ の、$0\leqq x\leqq1$ の範囲における区分求積の和であるから，
$$\lim_{n\to\infty}p_n=\int_0^1x^m\,dx =\frac1{m+1}.$$

$$\text{(2)}$$
赤玉数が $k$ 個の箱を選んだ事象を $B_k$ とする。すると
$$P(B_k\cap X)=\frac1n\left(\frac{k}{n}\right)^m, \qquad P(X)=\frac1n\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{j}{n}\right)^m.$$
したがって，$X$ が起こったときに赤玉数 $k$ 個の箱が選ばれている条件付き確率は
$$P_{X}(B_k) =\frac{(k/n)^m}{\displaystyle\sum_{j=1}^{n}(j/n)^m}.$$
箱 $B_k$ を固定すれば、戻しながら抽出する各回は独立なので、最後の2回の抽出は最初の $m$ 回に起きた事象 $X$ とも独立である。一方、どの箱を選んだかを固定せずに考えると、赤玉の割合が箱によって異なるため、最後の2回どうしは一般に独立とは限らない。赤玉数が $k$ 個なら，最後の2回に少なくとも1個の赤玉が出る確率は，余事象を用いて
$$1-\left(1-\frac{k}{n}\right)^2 =2\frac{k}{n}-\left(\frac{k}{n}\right)^2.$$
よって
$$q_n=P_X(Y) =\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (k/n)^m\left\{2(k/n)-(k/n)^2\right\}} {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k/n)^m}.$$
分子・分母をそれぞれ $n$ で割ると，区分求積法より
$$\frac1n\sum_{k=1}^{n}(k/n)^m\longrightarrow \int_0^1x^m\,dx=\frac1{m+1},$$
$$\frac1n\sum_{k=1}^{n}(k/n)^m \left\{2(k/n)-(k/n)^2\right\} \longrightarrow \int_0^1(2x^{m+1}-x^{m+2})\,dx =\frac2{m+2}-\frac1{m+3}.$$
分母の極限は正なので，極限の比をとることができる。したがって
$$\lim_{n\to\infty}q_n =(m+1)\left(\frac2{m+2}-\frac1{m+3}\right) =\frac{(m+1)(m+4)}{(m+2)(m+3)}.$$