4北海道大学 2022年 数学 第4問解答・解説

同一文字を区別しない円順列を標本空間とし、母音を円形に置いた後の4つの隙間への子音配置で場合分けする。

同じ文字の玉を区別しない円順列を数える。全体の数は$$N=\frac{7!}{2!2!}=1260$$である。同じ文字配置は物理的な同色玉の区別の仕方が常に$2!2!$通りなので、各配置は等確率である。

(1) 時計回りに$HOKKAIDO$となる円配置は、回転を同一視すると1通りだから、求める確率は$1/1260$。

(2) 子音が隣り合わない配置を数える。母音$A,I,O,O$の円配置は$(4-1)!/2!=3$通りで、4つの隙間に子音$D,H,K,K$を1個ずつ置く方法は$4!/2!=12$通り。したがって子音が隣り合わない配置は$3\cdot12=36$通りであり、少なくとも1組の子音が隣り合う確率は$1-36/1260=34/35$。

(3) 条件事象を$A=\{\text{少なくとも1組の子音が隣り合う}\}$、その隣り合う組が$KK$だけである事象を$B$とする。$B$では母音間の4隙間の子音数が$(2,1,1,0)$で、2個入る隙間には$K,K$、1個ずつの2隙間には$D,H$を置く。母音の円配置3通りそれぞれに対し、2個入る隙間の選択が4通り、$D,H$を置く2隙間の順序付き選択が$3\cdot2=6$通りなので、$|B|=3\cdot4\cdot6=72$。よって$$P_{A}(B)=\frac{72}{1260-36}=\frac{1}{17}.$$