1獨協医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

対数を底2の対数 u に置き換えて方程式を因数分解し、関数は t=u+4/u の値域上で最小化した。確率は全84通りの組合せに対し、偶数・4の倍数では補集合を数え、和の条件では3を法とする余りを分類して数えた。

(1)(i) $x>0$ かつ対数の底が1でないことから $x\ne1$ である。$u=\log_2x$ とおくと $u\ne0$ であり、$\log_x2=\frac1u$ だから
$$u+\frac4u=-\frac{17}{2} \quad\text{すなわち}\quad 2u^2+17u+8=0 \quad\text{すなわち}\quad (2u+1)(u+8)=0.$$
よって $u=-\frac12,-8$ であり、$x=2^u$ より $x=\frac{\sqrt2}{2},\quad\frac1{256}$。どちらも定義域内にある。

(1)(ii) $u=\log_2x\ne0$ とし、$t=u+\frac4u$ とおく。対数の底の変換により
$$u^2+\frac{16}{u^2}=t^2-8,\qquad \log_{\sqrt{x}}256=\frac{16}{u},\qquad \log_{1/2}(8x^4)=-(3+4u).$$
また $4t=4u+\frac{16}{u}$ なので
$$f(x)=t^2-8+\frac{16}{u}+3+4u=t^2+4t-5=(t+2)^2-9.$$
$u>0$ のとき $t-4=\frac{(u-2)^2}{u}\geqq0$ より $t\geqq4$。$u<0$ のとき $t+4=\frac{(u+2)^2}{u}\leqq0$ より $t\leqq-4$。従って $t\leqq-4$ または $t\geqq4$。前者では $(t+2)^2\geqq4$ なので $f\geqq-5$（等号 $t=-4$）、後者では $(t+2)^2\geqq36$ なので $f\geqq27$。よって全体の最小値は -5。$t=-4$ は $u=-2$ で実現し、$x=2^{-2}=\frac14$ である。

(2) 3枚の選び方は ${}_{9}\mathrm{C}_{3}=84$ 通りで等確率である。奇数カードは5枚なので、Tが奇数となる選び方は ${}_{5}\mathrm{C}_{3}=10$ 通り。したがって
$$P(T\text{ が偶数})=1-\frac{10}{84}=\frac{74}{84}=\frac{37}{42}.$$
Tが4の倍数でないのは、4または8を選ばず、2と6を合わせて高々1枚選ぶ場合に限る。その数は、2・6を選ばず奇数3枚を選ぶ ${}_{5}\mathrm{C}_{3}$=10 通りと、2・6の一方を選び奇数2枚を選ぶ $2\cdot{}_{5}\mathrm{C}_{2}=20$ 通り、計30通り。よって
$$P_{T}(4)=1-\frac{30}{84}=\frac{54}{84}=\frac9{14}.$$
和を3で割った余りでカードを分類すると、余り0,1,2の各組はそれぞれ3枚ずつである。3枚の和が3の倍数となる余りの組合せは、同じ余りを3枚選ぶ場合（各組1通り、計3通り）または各余りから1枚ずつ選ぶ場合（$3^3=27$通り）であり、合計30通り。したがって
$$P_{S}(3)=\frac{30}{84}=\frac5{14}.$$