5久留米大学 2024年 数学 第5問解答・解説

異なる $n$ 個から $r$ 個を取る組合せの総数を ${}_{n}\mathrm{C}_{r}$ とする。$k\geqq 2$ とし、下図のように、一番下の行の左から $k$ 列目のマスに ${}_{2k-1}\mathrm{C}_{1}$ をおく。次に、${}_{2k-1}\mathrm{C}_{1}$ の上に ${}_{2k-1}\mathrm{C}_{2}$、そのまた上に ${}_{2k-1}\mathrm{C}_{3}$ をおいて、$k$ 段目まで順に上に並べていく。このとき、左から $k$ 列目、下から $k$ 段目は ${}_{2k-1}\mathrm{C}_{k}$ となる。さらに、一番下のマスから $k$ 段目まで上に並べたら、今度は ${}_{2k-1}\mathrm{C}_{k}$ の左に ${}_{2k-1}\mathrm{C}_{k+1}$ をおき、そのまた左に ${}_{2k-1}\mathrm{C}_{k+2}$ をおき、左端まで順に左に並べていく。また、左から 1 列目、下から 1 段目のマスは ${}_{1}\mathrm{C}_{1}$ とする。左から $i$ 列目、下から $j$ 段目のマス目にある ${}_{n}\mathrm{C}_{r}$ を $a_{i,j}$ と書く。例えば、$a_{3,4}={}_{7}\mathrm{C}_{5}$、$a_{1,3}={}_{5}\mathrm{C}_{5}$ である。

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline {}_{7}\mathrm{C}_{7} & {}_{7}\mathrm{C}_{6} & {}_{7}\mathrm{C}_{5} & {}_{7}\mathrm{C}_{4}\\ \hline {}_{5}\mathrm{C}_{5} & {}_{5}\mathrm{C}_{4} & {}_{5}\mathrm{C}_{3} & {}_{7}\mathrm{C}_{3}\\ \hline {}_{3}\mathrm{C}_{3} & {}_{3}\mathrm{C}_{2} & {}_{5}\mathrm{C}_{2} & {}_{7}\mathrm{C}_{2}\\ \hline {}_{1}\mathrm{C}_{1} & {}_{3}\mathrm{C}_{1} & {}_{5}\mathrm{C}_{1} & {}_{7}\mathrm{C}_{1}\\ \hline \end{array}$$

(1) $a_{8,8}$ の値を求めると、$a_{8,8}=\boxed{\text{すせそた}}$ である。

(2) $a_{i,j}={}_{11}\mathrm{C}_{8}$ は、$i=\boxed{\text{ち}}$、$j=\boxed{\text{つ}}$ であり、$a_{i,j}={}_{203}\mathrm{C}_{97}$ は、$i=\boxed{\text{てとな}}$、$j=\boxed{\text{にぬ}}$ であり、$a_{i,j}={}_{203}\mathrm{C}_{105}$ は、$i=\boxed{\text{ねの}}$、$j=\boxed{\text{はひふ}}$ である。

(3) $n$ を 2 以上の整数とするとき、
$$\sum_{j=1}^{n}a_{n,j}+\sum_{i=1}^{n-1}a_{i,n}=\boxed{\text{へ}}^{2n-1}-\boxed{\text{ほ}}$$
である。