1久留米大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1) 平方完成により $x^{2}-(3y-6)^{2}+56=0$、したがって $(3y-6+x)(3y-6-x)=56$。よって $A=C=3,\ B=D=6,\ E=56$。$u=3y-6$とおくと $u^{2}-x^{2}=56$。因数 $u+x$ と $u-x$ は同じ偶奇で積が56なのでともに偶数。$p=\dfrac{u+x}{2}$、$q=\dfrac{u-x}{2}$ とおけば $pq=14$、$x=p-q\geqq 0$、$u=p+q$。正の因数対から $(u,x)=(15,13),\,(9,5)$ が得られ、$y=7,\,5$。負の因数対は$y<0$となる。したがって組は $(x,y)=(13,7),\,(5,5)$。

(2) $x$について解くと $x=\dfrac{3y+6\pm\sqrt{9y^{2}-36y-20}}{2}$ なので $F=3,\ G=6,\ H=9,\ I=36,\ J=20$。整数解では根号内が平方数 $z^{2}$ であり、$z^{2}-9y^{2}+36y+20=0$ となる。(1)の因数条件から $y=5$ または$7$。$y=5$ では$z=5$、$x=13,\,8$。$y=7$ では$z=13$、$x=20,\,7$。したがって組は $(13,5),\,(8,5),\,(20,7),\,(7,7)$。