3久留米大学 2024年 数学 第3問解答・解説

真数条件を忘れずに、対数を外して整理すると $x^{2}+y^{2}\leqq 1$ になる。(2) は $\dfrac{\sqrt{3}}{2}x-\dfrac{y}{2}$ が領域上でとる値の範囲を求める。境界の直線上の点が含まれないことに注意する。

(1)

真数条件は $(1-x)(1+y)>0$ かつ $y-x+1>0$。$x>1$、$y<-1$ のときは $y-x+1<-1$ となるから、条件は $x<1$、$y>-1$、$y>x-1$ である。このもとで不等式は
$$\log_{2}2(1-x)(1+y)\geqq\log_{2}(y-x+1)^{2}\iff 2(1-x)(1+y)\geqq(y-x+1)^{2}\iff x^{2}+y^{2}\leqq 1.$$
よって領域は、円 $x^{2}+y^{2}\leqq 1$ から、直線 $y=x-1$（点 $(1,\,0)$、$(0,\,-1)$ を通る）より下の部分を除いたもの（直線上の点は含まない）である。除く部分の面積は $\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}$ だから、求める面積は
$$\pi-\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3\pi+2}{4}.$$

(2)

$k=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x-\dfrac{y}{2}$ のとりうる値の範囲を求める。円周上の点 $(\cos\varphi,\,\sin\varphi)$ では $k=\cos\left(\varphi+\dfrac{\pi}{6}\right)$ である。領域の円周部分は $0<\varphi<\dfrac{3}{2}\pi$ で、$\dfrac{\pi}{6}<\varphi+\dfrac{\pi}{6}<\dfrac{5}{3}\pi$ より、ここで $k$ は $-1\leqq k<\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ の値をとる。直線 $y=x-1$ 上では $k$ は $\dfrac{1}{2}$ と $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ の間の値で、これらの点は領域に含まれない。領域は $k$ が一定の直線で切ると線分になるので、領域全体で $k$ のとる値は $-1\leqq k<\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ である。

$0\leqq\theta<2\pi$ で $-1\leqq\sin\theta<\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となる範囲は
$$0\leqq\theta<\dfrac{\pi}{3},\qquad \dfrac{2}{3}\pi<\theta<2\pi.$$