I日本医科大学 2023年 数学 第I問解答・解説

放物線の2根を三角形の底辺の端点として表し、根と係数の関係およびベクトル内積・距離で図形条件を出目の積と和に変換して数え上げる。

$a,b$はそれぞれ1から6までの整数とする。二次方程式 $f_k(x)=0$ の判別式は
$$(a+b-k)^2+ab>0$$
なので、異なる2実根 $p<q$ があり、交点は $P=(p,0),Q=(q,0)$ と書ける。解と係数の関係から
$$p+q=-\frac{2(a+b-k)}a,\qquad pq=-\frac ba<0. \tag{1}$$
従って $p,q$ は0でなく異符号である。また $R=(0,-b/2)$ である。

$\overrightarrow{RP}=(p,b/2)$、$\overrightarrow{RQ}=(q,b/2)$ より、$R$ で直角となる条件は
$$\overrightarrow{RP}\cdot\overrightarrow{RQ}=pq+\frac{b^2}{4}=0 \quad\text{すなわち}\quad -\frac ba+\frac{b^2}{4}=0 \quad\text{すなわち}\quad ab=4.$$
一方、$P$ で直角なら $\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR}=-(q-p)p=0$ から $p=0$ となり、(1)に反する。$Q$ で直角の場合も同様に $q=0$ を要して矛盾する。よって直角三角形となるのは $ab=4$ の場合だけである。該当する順序つきの出目は $(a,b)=(1,4),(2,2),(4,1)$ の3通りで、全事象は $6\cdot6=36$ 通りだから
$$P_0(k)=\frac3{36}=\frac1{12},$$
となり、$k$ によらない。

直角二等辺三角形では、直角は $R$ に限られる。さらに $RP=RQ$ であるから $p^2=q^2$。$p\ne q$ より $p=-q$、すなわち(1)から $k=a+b$。直角条件 $ab=4$ と合わせると、出目は $(1,4),(2,2),(4,1)$ であり、それぞれの $k$ は $5,4,5$ である。従って $P_1(k)\ne0$ となる値は $4,5$、また
$$P_1(4)=\frac1{36},\qquad P_1(5)=\frac2{36}=\frac1{18}.$$

正三角形でも $RP=RQ$ より $p=-q$、従って $k=a+b$ である。$p=-q$ とおけば、(1)より $p^2=b/a$。底辺 $PQ$ の長さは $2|p|$、他の辺の長さの2乗は $p^2+b^2/4$ なので、正三角形となる条件は
$$p^2+\frac{b^2}{4}=4p^2 \quad\text{すなわち}\quad \frac ba=\frac{b^2}{12} \quad\text{すなわち}\quad ab=12.$$
出目 $(2,6),(3,4),(4,3),(6,2)$ が該当し、前者と後者の和はそれぞれ $8,7,7,8$。よって
$$P_2(7)=\frac2{36}=\frac1{18},\qquad P_2(8)=\frac2{36}=\frac1{18}.$$