4久留米大学 2024年 数学 第4問解答・解説

曲線を $x=\theta^{2}\cos\theta$、$y=\theta^{2}\sin\theta$ と媒介変数で表す。面積は $\displaystyle\int x\,dy$ を $\theta$ で置換して計算し、(1) の等式を使う。長さは $\left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^{2}+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^{2}=\theta^{4}+4\theta^{2}$ となる。

曲線 $C$ は $x=\theta^{2}\cos\theta$、$y=\theta^{2}\sin\theta$ で表される。
$$\dfrac{dx}{d\theta}=2\theta\cos\theta-\theta^{2}\sin\theta,\qquad \dfrac{dy}{d\theta}=2\theta\sin\theta+\theta^{2}\cos\theta.$$

(1)

部分積分により
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^{4}\cos 2x\,dx=\left[\dfrac{x^{4}}{2}\sin 2x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2x^{3}\sin 2x\,dx=-2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^{3}\sin 2x\,dx$$
だから $\text{あ}=2$。

$0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ で $x\geqq 0$、$\dfrac{dy}{d\theta}\geqq 0$ で、$y$ は $0$ から $\dfrac{\pi^{2}}{4}$ まで増加し、終点 $\left(0,\,\dfrac{\pi^{2}}{4}\right)$ は $y$ 軸上にある。よって面積は
$$\int_{0}^{\frac{\pi^{2}}{4}}x\,dy=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\theta^{2}\cos\theta\,(2\theta\sin\theta+\theta^{2}\cos\theta)\,d\theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\theta^{3}\sin 2\theta+\dfrac{\theta^{4}}{2}+\dfrac{\theta^{4}}{2}\cos 2\theta\right)d\theta.$$
(1) の等式より $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\dfrac{\theta^{4}}{2}\cos 2\theta+\theta^{3}\sin 2\theta\right)d\theta=0$ だから、面積は
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\theta^{4}}{2}\,d\theta=\dfrac{1}{10}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{5}=\dfrac{\pi^{5}}{320}.$$

(2)

$$\left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^{2}+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^{2}=4\theta^{2}+\theta^{4}$$
だから、長さは
$$\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}}|\theta|\sqrt{\theta^{2}+4}\,d\theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\theta\sqrt{\theta^{2}+4}\,d\theta+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\theta\sqrt{\theta^{2}+4}\,d\theta.$$
$\displaystyle\int\theta\sqrt{\theta^{2}+4}\,d\theta=\dfrac{1}{3}(\theta^{2}+4)^{\frac{3}{2}}+C$ だから、求める長さは
$$\dfrac{1}{3}\left\{\left(\dfrac{\pi^{2}}{9}+4\right)^{\frac{3}{2}}-8\right\}+\dfrac{1}{3}\left\{\left(\dfrac{\pi^{2}}{16}+4\right)^{\frac{3}{2}}-8\right\}=\dfrac{1}{3}\left\{\left(\dfrac{\pi^{2}}{9}+4\right)^{\frac{3}{2}}+\left(\dfrac{\pi^{2}}{16}+4\right)^{\frac{3}{2}}\right\}-\dfrac{16}{3}.$$