5秋田大学 2023年 数学 第5問解答・解説

(i) $x=2\cos\theta,\ y=1+\sin\theta$ より、$\cos\theta=\frac{x}{2},\ \sin\theta=y-1$。したがって
$$\frac{x^2}{4}+(y-1)^2=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1.$$

(ii) $\theta=\frac\pi6$ の点は $(x,y)=(\sqrt3,\frac32)$。媒介変数表示の微分から
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}=\frac{\cos\theta}{-2\sin\theta},\qquad \left.\frac{dy}{dx}\right|_{\theta=\pi/6}=-\frac{\sqrt3}{2}.$$
したがって接線は
$$y-\frac32=-\frac{\sqrt3}{2}(x-\sqrt3),\qquad \ell:\ y=3-\frac{\sqrt3}{2}x.$$

(iii) $\ell$ と $x$ 軸の交点は $(2\sqrt3,0)$。原点から接点へ曲線の右側を通る弧で囲まれる図形を考え、曲線を下側の枝と上側の枝に分けて面積を求める。楕円の式から右側の枝は $y=1\pm\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}$ である。面積は次の3部分の和となる。
$$\begin{aligned} A_1&=\int_0^2\left(1-\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}\right)dx=2-\frac\pi2,\\ A_2&=\int_{\sqrt3}^2\left\{3-\frac{\sqrt3}{2}x-\left(1+\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}\right)\right\}dx =4-2\sqrt3-\frac\pi6,\\ A_3&=\int_2^{2\sqrt3}\left(3-\frac{\sqrt3}{2}x\right)dx=4\sqrt3-6. \end{aligned}$$$$A_1={\int }_0^2\left(1-\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}\right)dx=2-\frac{\pi }{2},$$$$A_2={\int }_{\sqrt{3}}^2\left\{3-\frac{\sqrt{3}}{2}x-\left(1+\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}\right)\right\}dx=4-2\sqrt{3}-\frac{\pi }{6},$$$$A_3={\int }_2^{2\sqrt{3}}\left(3-\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)dx=4\sqrt{3}-6.$$
ここで根号を含む積分は $x=2\sin u$ と置換した。したがって
$$A_1+A_2+A_3=2\sqrt3-\frac{2\pi}{3}.$$

【(iii)の領域指定について】上の面積は、原点 $O$ から接点 $T=(\sqrt3,\frac32)$ へ至る右側の短い楕円弧で囲まれる領域を選んだ場合である。補の長い弧を使う別の有界領域もあり、その面積は楕円全体の面積 $2\pi$ を加えた $2\sqrt3+\frac{4\pi}{3}$ となる。