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東京大学／2025年度

1東京大学 2025年 数学 第1問解答・解説

平面上の曲線と複素数平面積分法

1問題

東京大学2025年度第1問
座標平面上の点 A(0, 0)\mathrm{A}(0,\,0)、B(0, 1)\mathrm{B}(0,\,1)、C(1, 1)\mathrm{C}(1,\,1)、D(1, 0)\mathrm{D}(1,\,0) を考える。実数 0<t<10<t<1 に対して、線分 AB\mathrm{AB}、BC\mathrm{BC}、CD\mathrm{CD} を t:(1−t)t:(1-t) に内分する点をそれぞれ Pt\mathrm{P}_{t}、Qt\mathrm{Q}_{t}、Rt\mathrm{R}_{t} とし、線分 PtQt\mathrm{P}_{t}\mathrm{Q}_{t}、QtRt\mathrm{Q}_{t}\mathrm{R}_{t} を t:(1−t)t:(1-t) に内分する点をそれぞれ St\mathrm{S}_{t}、Tt\mathrm{T}_{t} とする。さらに、線分 StTt\mathrm{S}_{t}\mathrm{T}_{t} を t:(1−t)t:(1-t) に内分する点を Ut\mathrm{U}_{t} とする。また、点 A\mathrm{A} を U0\mathrm{U}_{0}、点 D\mathrm{D} を U1\mathrm{U}_{1} とする。

(1) 点 Ut\mathrm{U}_{t} の座標を求めよ。

(2) tt が 0≦t≦10\leqq t\leqq 1 の範囲を動くときに点 Ut\mathrm{U}_{t} が描く曲線と、線分 AD\mathrm{AD} で囲まれた部分の面積を求めよ。

(3) aa を 0<a<10<a<1 を満たす実数とする。tt が 0≦t≦a0\leqq t\leqq a の範囲を動くときに点 Ut\mathrm{U}_{t} が描く曲線の長さを、aa の多項式の形で求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    Ut(3t2−2t3, 3t−3t2)\mathrm{U}_{t}(3t^{2}-2t^{3},\,3t-3t^{2})
  • (2)
    35\dfrac{3}{5}
  • (3)
    2a3−3a2+3a2a^{3}-3a^{2}+3a

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

2 点 X\mathrm{X}、Y\mathrm{Y} を t:(1−t)t:(1-t) に内分する点は (1−t)X+tY(1-t)\mathrm{X}+t\mathrm{Y} で表せる。これを繰り返して Ut\mathrm{U}_{t} を媒介変数 tt で表し、面積は ∫y dx\displaystyle\int y\,dx、長さは ∫(dxdt)2+(dydt)2 dt\displaystyle\int\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt で求める。

解答

(1)

2 点 X(x1, y1)\mathrm{X}(x_{1},\,y_{1})、Y(x2, y2)\mathrm{Y}(x_{2},\,y_{2}) を結ぶ線分を t:(1−t)t:(1-t) に内分する点の座標は ((1−t)x1+tx2, (1−t)y1+ty2)\left((1-t)x_{1}+tx_{2},\,(1-t)y_{1}+ty_{2}\right) である。よって
Pt(0, t),Qt(t, 1),Rt(1, 1−t), \mathrm{P}_{t}(0,\,t),\quad \mathrm{Q}_{t}(t,\,1),\quad \mathrm{R}_{t}(1,\,1-t),
St(t2, 2t−t2),Tt(2t−t2, 1−t2). \mathrm{S}_{t}(t^{2},\,2t-t^{2}),\quad \mathrm{T}_{t}(2t-t^{2},\,1-t^{2}).
したがって、Ut\mathrm{U}_{t} の座標は
x=(1−t)t2+t(2t−t2)=3t2−2t3, x=(1-t)t^{2}+t(2t-t^{2})=3t^{2}-2t^{3},
y=(1−t)(2t−t2)+t(1−t2)=3t−3t2. y=(1-t)(2t-t^{2})+t(1-t^{2})=3t-3t^{2}.
これは t=0t=0、t=1t=1 のとき、それぞれ A\mathrm{A}、D\mathrm{D} の座標と一致する。

(2)

dxdt=6t(1−t)≧0\dfrac{dx}{dt}=6t(1-t)\geqq 0 だから、tt が 00 から 11 まで増えると xx は 00 から 11 まで増加する。また 0≦t≦10\leqq t\leqq 1 で y=3t(1−t)≧0y=3t(1-t)\geqq 0 である。よって、求める面積は
∫01y dx=∫013t(1−t)⋅6t(1−t) dt=18∫01t2(1−t)2 dt=18⋅130=35. \int_{0}^{1}y\,dx=\int_{0}^{1}3t(1-t)\cdot 6t(1-t)\,dt=18\int_{0}^{1}t^{2}(1-t)^{2}\,dt=18\cdot\dfrac{1}{30}=\dfrac{3}{5}.

(3)

dxdt=6t(1−t)\dfrac{dx}{dt}=6t(1-t)、dydt=3(1−2t)\dfrac{dy}{dt}=3(1-2t) である。w=t(1−t)w=t(1-t) とおくと (1−2t)2=1−4w(1-2t)^{2}=1-4w だから
(dxdt)2+(dydt)2=9{4w2+(1−4w)}=9(1−2w)2. \left(\dfrac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^{2}=9\{4w^{2}+(1-4w)\}=9(1-2w)^{2}.
1−2w=2t2−2t+1=2(t−12)2+12>01-2w=2t^{2}-2t+1=2\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{1}{2}>0 だから、求める長さは
∫0a3(2t2−2t+1) dt=2a3−3a2+3a. \int_{0}^{a}3(2t^{2}-2t+1)\,dt=2a^{3}-3a^{2}+3a.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 内分点の座標
  • 媒介変数で表された曲線
  • 曲線で囲まれた面積
  • 曲線の長さ

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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