4金沢医科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

金沢医科大学 2023年度 数学 Q4

点 $P$ の座標

楕円を陰関数微分すると
$$\frac{2x}{3}+\frac{2y}{9}\frac{dy}{dx}=0, \qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{3x}{y}.$$
接線の傾きが $-1$ だから $-3x/y=-1$、すなわち $y=3x$。これを楕円の式に代入すると
$$\frac{x^2}{3}+\frac{(3x)^2}{9}=\frac43x^2=1.$$
条件 $x\geqq0$ により $x=\frac{\sqrt3}{2}$、従って $y=\frac{3\sqrt3}{2}$。よって
$$\boxed{P\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac{3\sqrt3}{2}\right)}.$$

放物線の係数

放物線②を $x=-ay^2-b$ とみて $x$ で微分すると
$$1+2ay\frac{dy}{dx}=0, \qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2ay}.$$
点 $P$ での傾きも $-1$ なので
$$-\frac{1}{2a(3\sqrt3/2)}=-1, \qquad a=\frac{1}{3\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{9}.$$
また②は $P$ を通るから
$$b=-x_P-a y_P^2=-\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{9}\cdot\frac{27}{4} =-\frac{5\sqrt3}{4}.$$
従って
$$\boxed{a=\frac{\sqrt3}{9}},\qquad \boxed{b=-\frac{5\sqrt3}{4}}.$$

囲まれた部分の面積

楕円のうち $x\geqq0$ の部分は
$$x_E=\sqrt3\sqrt{1-\frac{y^2}{9}}\qquad(-3\leqq y\leqq3)$$
と表され、放物線は
$$x_P=\frac{5\sqrt3}{4}-\frac{\sqrt3}{9}y^2.$$
交点では $x_E=x_P$。$t=y/3$ とおけば $|t|\leqq1$ で
$$\sqrt{1-t^2}=\frac54-t^2.$$
右辺は $|t|\leqq1$ で正なので両辺を平方してよい。$u=t^2$ とすると
$$(1-u)-\left(\frac54-u\right)^2 =-\left(u-\frac34\right)^2=0.$$
よって $t^2=\frac34$、交点の $y$ 座標は $y=\pm\frac{3\sqrt3}{2}$ である。交点間では $\frac54-u$ と $\sqrt{1-u}$ はともに正であり、その平方の差は $(u-\frac34)^2\geqq0$ だから、放物線は楕円の右側にある。従って囲まれた部分の面積は
$$\begin{aligned} S&=2\int_0^{3\sqrt3/2}(x_P-x_E)\,dy\\ &=6\sqrt3\int_0^{\sqrt3/2}\left(\frac54-t^2-\sqrt{1-t^2}\right)dt. \end{aligned}$$$$S=2{\int }_0^{3\sqrt{3}/2}(x_P-x_E)dy$$$$=6\sqrt{3}{\int }_0^{\sqrt{3}/2}\left(\frac{5}{4}-t^2-\sqrt{1-t^2}\right)dt.$$
ここで
$$\int_0^{\sqrt3/2}\left(\frac54-t^2\right)dt=\frac{\sqrt3}{2},$$
また $t=\sin\theta$ と置換すれば
$$\int_0^{\sqrt3/2}\sqrt{1-t^2}\,dt =\frac12\left[t\sqrt{1-t^2}+\sin^{-1}t\right]_0^{\sqrt3/2} =\frac{\sqrt3}{8}+\frac{\pi}{6}.$$
よって
$$S=6\sqrt3\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{8}-\frac{\pi}{6}\right) =\boxed{\frac{27}{4}-\sqrt3\pi}.$$

最終結果: $P=(\frac{\sqrt3}{2},\frac{3\sqrt3}{2})$、$a=\frac{\sqrt3}{9}$、$b=-\frac{5\sqrt3}{4}$、面積 $\frac{27}{4}-\sqrt3\pi$。