3福島県立医科大学 2025年 数学 第3問解答・解説

(1) $\alpha:y-asz=0$、$\beta:y+asz=0$ であり、両平面の法線の長さは $\sqrt{1+a^2s^2}$ である。中心を $P=(x,y,t)$ とおくと、両平面までの距離が等しい条件は $|y-ast|=|y+ast|$ となる。両辺を二乗すると $4asty=0$ であり、$a>1,s>0,t>0$ より $y=0$。したがって半径は
$$r=\frac{ast}{\sqrt{1+a^2s^2}}.$$

(2) (1)より中心の $y$ 座標は0である。$c=\cos\theta$ とおく。中心は四面体の内部だから $0<t<1$。面 $ACD$ と $BCD$ の方程式はそれぞれ $-sx+cy-sz+s=0$ と $sx-cy-sz+s=0$ で、その法線の長さは等しい。中心 $(x,0,t)$ からこの2面への距離が等しいので
$$|-sx+s(1-t)|=|sx+s(1-t)|.$$
二乗して整理すると $4s^2x(1-t)=0$。$s>0$, $t<1$ から $x=0$ となり、中心は $(0,0,t)$ の形である。$c=\cos\theta$ とすると、面 $ACD$ の方程式は
$$-sx+cy-sz+s=0,$$
法線の長さは $\sqrt{1+s^2}$。内心は四面体の内部にあり $0<t<1$ だから、面 $ACD$ までの距離は $s(1-t)/\sqrt{1+s^2}$、面 $\alpha$ までの距離は $ast/\sqrt{1+a^2s^2}$ である。両者を等しくして $s>0$ を約すと
$$\frac{at}{\sqrt{1+a^2s^2}}=\frac{1-t}{\sqrt{1+s^2}},\qquad t=\frac{\sqrt{1+a^2s^2}}{a\sqrt{1+s^2}+\sqrt{1+a^2s^2}}.$$
従って内接球の半径と中心は
$$r=\frac{as}{a\sqrt{1+s^2}+\sqrt{1+a^2s^2}},\qquad (0,0,\frac{\sqrt{1+a^2s^2}}{a\sqrt{1+s^2}+\sqrt{1+a^2s^2}}).$$

(3) $AB=2$ で、$D$ から $AB$ までの距離は $\sqrt{1+a^2s^2}$ だから、$\triangle ABD$ の面積は $\sqrt{1+a^2s^2}$。また、四面体の底面として $\triangle ABD$ を選ぶ。点 $C$ から平面 $ABD$（すなわち $\beta$）までの距離は、平面 $\beta$ の式から求まる。
$$\frac{|as+as|}{\sqrt{1+a^2s^2}}=\frac{2as}{\sqrt{1+a^2s^2}}.$$
よって
$$V_1=\frac{2as}{3},\qquad V_2=\frac{4\pi r^3}{3}.$$
固定した $s>0$ に対し
$$r=\frac{s}{\sqrt{1+s^2}+\sqrt{s^2+a^{-2}}}\longrightarrow\frac{s}{\sqrt{1+s^2}+s},$$
したがって
$$\rho(s)=\lim_{a\to\infty}\frac{aV_2}{V_1}=\frac{2\pi s^2}{(\sqrt{1+s^2}+s)^3}.$$
$g(s)=\sqrt{1+s^2}+s$ とおくと $g'(s)=g(s)/\sqrt{1+s^2}$ なので
$$\rho'(s)=\frac{2\pi s}{g(s)^3}\left(2-\frac{3s}{\sqrt{1+s^2}}\right).$$
$0<s\leqq1$ において $s/\sqrt{1+s^2}$ は増加するから、括弧内は $2\sqrt{1+s^2}=3s$ のとき符号を変える。この方程式は $s=2/\sqrt5$ を与え、導関数はその前で正、その後で負となる。よって最大となる値は
$$\boxed{s=\frac{2}{\sqrt5}}.$$