4熊本大学 2025年 数学 第4問解答・解説

実数 $p>1$ とし、$f(x)=x^p\ (x\geqq 0)$ とおく。$x>0$ では $f'(x)=p x^{p-1}$ であり、$f'(0)=\lim_{h\to+0}h^{p-1}=0$ である。したがって $f'$ は $x\geqq0$ の範囲で増加する。

(問 1) 各正整数 $k$ について、$x^p$ が増加するから $\int_{k-1}^{k}x^p\,dx\leqq k^p\leqq\int_k^{k+1}x^p\,dx$ である。これを $k=1,\ldots,n$ について加えると
$$\frac{n^{p+1}}{p+1}=\int_0^n x^p\,dx\leqq S_n\leqq\int_1^{n+1}x^p\,dx=\frac{(n+1)^{p+1}-1}{p+1}.$$
よって
$$\frac{1}{p+1}\leqq\frac{S_n}{n^{p+1}}\leqq\frac{1}{p+1}\left\{\left(1+\frac1n\right)^{p+1}-\frac{1}{n^{p+1}}\right\}\longrightarrow\frac{1}{p+1},$$
したがって求める極限は $\displaystyle\frac{1}{p+1}$ である。

(問 2) 点 $(\alpha,\alpha^p)$ における接線は、$f'(\alpha)=p\alpha^{p-1}$ より
$$y=\alpha^p+p\alpha^{p-1}(x-\alpha).$$
ただし $\alpha=0$ のときも右微分係数は $0$ なので、接線は $y=0$ であり、上式に一致する。

$x\geqq\alpha$ では $f'$ が増加するため
$$x^p-\alpha^p=\int_\alpha^x f'(t)\,dt\geqq p\alpha^{p-1}(x-\alpha).$$
また $\alpha<x<\beta$ ならば、同じく $f'$ の増加性から
$$\frac{x^p-\alpha^p}{x-\alpha}\leqq f'(x)\leqq\frac{\beta^p-x^p}{\beta-x}.$$
これを整理すると
$$x^p\leqq\frac{\beta-x}{\beta-\alpha}\alpha^p+\frac{x-\alpha}{\beta-\alpha}\beta^p.$$
両端の等号も含め、接線による下側の評価とこの弦による上側の評価を $x=\alpha$ から $x=\beta$ まで積分すれば
$$\frac12(\beta-\alpha)\{2\alpha^p+p(\beta-\alpha)\alpha^{p-1}\}\leqq\int_\alpha^\beta x^p\,dx\leqq\frac12(\beta-\alpha)(\beta^p+\alpha^p)$$
を得る。

(問 3) $c=1/(p+1)$ である。$I_n=\int_0^n x^p\,dx=c n^{p+1}$、$D_n=S_n-I_n$ とおく。問 2 の不等式を各範囲 $k-1\leqq x\leqq k$ に用いると
$$\frac12\{k^p-(k-1)^p\}\leqq k^p-\int_{k-1}^{k}x^p\,dx\leqq k^p-(k-1)^p-\frac p2(k-1)^{p-1}.$$
これを $k=1,\ldots,n$ について加えると
$$\frac12 n^p\leqq D_n\leqq n^p-\frac p2\sum_{j=0}^{n-1}j^{p-1}=\frac12n^p+\frac12\left(n^p-p\sum_{j=0}^{n-1}j^{p-1}\right).$$
括弧内は
$$\sum_{j=0}^{n-1}\left\{(j+1)^p-j^p-pj^{p-1}\right\}=p\sum_{j=0}^{n-1}\int_j^{j+1}\{x^{p-1}-j^{p-1}\}\,dx$$
である。各被積分関数は $0$ 以上であり、$j\leqq x\leqq j+1$ では $x^{p-1}-j^{p-1}\leqq(j+1)^{p-1}-j^{p-1}$ だから、括弧内は $0$ 以上 $p n^{p-1}$ 以下である。したがって
$$\frac12\leqq\frac{S_n-cn^{p+1}}{n^p}=\frac{D_n}{n^p}\leqq\frac12+\frac{p}{2n},$$
ゆえに求める極限は $\displaystyle\frac12$ である.