5久留米大学 2022年 数学 第5問解答・解説

素因数分解に基づく約数個数の公式を用い、各条件を素数・平方数・素数冪の性質に帰着する。

正の約数の個数を《n》と書く。

(1)

$72=2^{3}\cdot3^{2}$、$48=2^{4}\cdot3$ より
$$\text{《}72\text{》}=(3+1)(2+1)=12,\qquad \text{《}48\text{》}=(4+1)(1+1)=10$$
したがって $\text{《}72\text{》}-\text{《}48\text{》}=2$。

(2)

正の約数が2個である自然数は素数である。3桁の素数の最小は $101$ である。$101$ は $2,\,3,\,5,\,7$ のいずれでも割り切れず、$\sqrt{101}<11$ なので素数である。
また $998$ は偶数、$999$ は3の倍数であり、$997$ はこれらの前の数である。$\sqrt{997}<32$ で、$997$ は素数 $2,\,3,\,5,\,7,\,11,\,13,\,17,\,19,\,23,\,29,\,31$ のどれでも割り切れない（$7,\,11,\,13,\,17,\,19,\,23,\,29,\,31$ で割った余りは順に $3,\,7,\,9,\,11,\,9,\,8,\,11,\,5$）。よって $997$ は素数であり、3桁の素数の最大値である。したがって最小値は $101$、最大値は $997$。

(3)

$n$ を素因数分解して $n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{k}^{e_{k}}$ とすると
$$\text{《}n\text{》}=(e_{1}+1)(e_{2}+1)\cdots(e_{k}+1).$$
これが奇数となるのは、全ての $e_{j}$ が偶数のとき、すなわち $n$ が平方数のときに限る。2桁の平方数は
$$4^{2}=16,\ 5^{2}=25,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 8^{2}=64,\ 9^{2}=81$$
の6個である。

(4)

$81=3^{4}$ より $\text{《}81\text{》}=5$。$t=\text{《}n\text{》}$ とおくと
$$2t^{2}-9t-35=0,\qquad (2t+5)(t-7)=0.$$
$t$ は正の整数なので $t=7$。素因数分解 $n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{k}^{e_{k}}$ に対して $\text{《}n\text{》}=(e_{1}+1)(e_{2}+1)\cdots(e_{k}+1)=7$ となるには、7が素数であることから $n=p^{6}$（$p$ は素数）でなければならない。3桁となるのは $3^{6}=729$ だけである（$2^{6}=64<100$、$5^{6}>999$）。したがって $n=729$。