1久留米大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1)

$t$を$-\dfrac{\pi}{2}\leqq t\leqq\dfrac{\pi}{2}$として$x=2\cos t,\ y=\sqrt3\sin t$と置く。$x+y=2\cos t+\sqrt3\sin t$は振幅$\sqrt7$を持ち、最大値$\sqrt7$を取る。最小は端点で生じ、$t=-\dfrac\pi2$のとき$-\sqrt3$（もう一方の端点では$\sqrt3$）。

(2) $s=\sin t$と置くと$-1\leqq s\leqq1$、$x^2+y=4(1-s^2)+\sqrt3s$。下に凸でなく上に凸の二次式であり、頂点$s=\dfrac{\sqrt3}{8}$は区間内。最大値は$4+\dfrac3{16}=\dfrac{67}{16}$。最小は端点で比較し、$s=-1$の$-\sqrt3$。

(3) $x^2+xy+y^2=4\cos^2t+2\sqrt3\cos t\sin t+3\sin^2t=\dfrac72+\dfrac12\cos2t+\sqrt3\sin2t$。振幅は $\sqrt{(\dfrac12)^2+3}=\dfrac{\sqrt{13}}2$。最大点は許される区間内（$\cos2t=\dfrac1{\sqrt{13}},\ \sin2t=\dfrac{2\sqrt3}{\sqrt{13}}$）に存在するから最大値は $\dfrac{7+\sqrt{13}}2$。