6久留米大学 2022年 数学 第6問解答・解説

$0$ 以上の整数 $m,n$ に対して
$$I_{m,n}=\int_1^e x^m(\log x)^n\,dx$$
とする。

$$\text{(1)}$$
$n=0$ として直接積分すると
$$I_{m,0}=\int_1^e x^m\,dx =\left[\frac{x^{m+1}}{m+1}\right]_1^e =\frac{e^{m+1}-1}{m+1}.$$
したがって
$$\boxed{\text{し}=1,\quad \text{す}=1,\quad \text{せ}=1}.$$

$$\text{(2)}$$
$I_{m+1,n+1}$ を部分積分する。$u=(\log x)^{n+1}$，
$dv=x^{m+1}\,dx$ とおくと
$$du=\frac{n+1}{x}(\log x)^n\,dx,\qquad v=\frac{x^{m+2}}{m+2}.$$
$x=1$ では $(\log 1)^{n+1}=0$，$x=e$ では
$(\log e)^{n+1}=1$ であるから，
$$\begin{aligned} I_{m+1,n+1} &=\left[\frac{x^{m+2}(\log x)^{n+1}}{m+2}\right]_1^e -\frac{n+1}{m+2}\int_1^e x^{m+1}(\log x)^n\,dx\\ &=\frac{e^{m+2}}{m+2}-\frac{n+1}{m+2}I_{m+1,n}. \end{aligned}$$$$I_{m+1,n+1}={\left[\frac{x^{m+2}(\log x{)}^{n+1}}{m+2}\right]}_1^e-\frac{n+1}{m+2}{\int }_1^e{x}^{m+1}(\log x{)}^{n}dx$$$$=\frac{e^{m+2}}{m+2}-\frac{n+1}{m+2}{I}_{m+1,n}.$$
よって
$$\boxed{\text{そ}=2,\quad \text{た}=2,\quad \text{ち}=1,\quad \text{つ}=2}.$$

$$\text{(3)}$$
(2)で $m=2$ とすると
$$I_{3,n+1}=\frac{e^4}{4}-\frac{n+1}{4}I_{3,n}.$$
まず
$$I_{3,0}=\frac{e^4-1}{4}.$$
これを順に代入して
$$\begin{aligned} I_{3,1} &=\frac{e^4}{4}-\frac14I_{3,0} =\frac{3e^4+1}{16},\\ I_{3,2} &=\frac{e^4}{4}-\frac24I_{3,1} =\frac{5e^4-1}{32},\\ I_{3,3} &=\frac{e^4}{4}-\frac34I_{3,2} =\frac{17e^4+3}{128}. \end{aligned}$$$$I_{3,1}=\frac{e^4}{4}-\frac{1}{4}{I}_{3,0}=\frac{3e^4+1}{16},$$$$I_{3,2}=\frac{e^4}{4}-\frac{2}{4}{I}_{3,1}=\frac{5e^4-1}{32},$$$$I_{3,3}=\frac{e^4}{4}-\frac{3}{4}{I}_{3,2}=\frac{17e^4+3}{128}.$$
したがって
$$\boxed{\text{て}=1,\quad\text{と}=7,\quad \text{な}=4,\quad\text{に}=3}.$$