2久留米大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1) 3枚のカードに書かれた文字の組合せを、同じ文字が何枚出るかで分ける。
3枚とも同じ文字なら8通り、ちょうど2枚が同じなら、重複する文字と残り1文字の選び方から $8\cdot7=56$ 通り、3文字がすべて異なるなら ${}_{8}\mathrm{C}_{3}=56$ 通りである。したがって
$$8+8\cdot7+{}_{8}\mathrm{C}_{3}=8+56+56=120$$
通り。

(2) 三角形ができるには3文字がすべて異なる必要がある。8個の頂点から異なる3頂点を選ぶと一つの三角形が定まり、どの3頂点も一直線上にないので
$${}_{8}\mathrm{C}_{3}=56$$
個。

(3) 立方体の辺の長さを1として、頂点を $(0,1)^3$ の座標で表す。直角の頂点を $X$ とし、残り2頂点を $Y,Z$ とする。$\overrightarrow{XY}$ と $\overrightarrow{XZ}$ の各成分は $0,\pm1$ であり、同じ座標方向で両方が0でない場合は、始点 $X$ が共通なのでその成分の符号は等しい。従って
$\overrightarrow{XY}\cdot\overrightarrow{XZ}$ は、$Y,Z$ が $X$ から異なる座標方向に動く方向集合の共通要素数に等しい。
直角になるのは、この2つの方向集合が互いに素なときである。3方向から、互いに素な非空部分集合の組を選ぶ場合は、サイズが $(1,1)$ または $(1,2)$ である。
$$\begin{array}{ll} (1,1):&8\cdot{}_{3}\mathrm{C}_{2}=24\text{ 個},\\ (1,2):&8\cdot3=24\text{ 個}. \end{array}$$
直角三角形では直角の頂点は一意なので重複計数はない。合計
$$24+24=48$$
個。