3久留米大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1)

$w=(-2-i)\dfrac{z}{z-2}$ と変形できる。$z=x+yi$ とすると、$w$ が実数である条件は、$(-2-i)(x+yi)\left((x-2)-yi\right)$ の虚部が $0$ となることである。その虚部は $-x^{2}-y^{2}+2x+4y$ であるから、
$$-x^{2}-y^{2}+2x+4y=0$$
である。従って
$$(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=5.$$
ただし、もとの式で $z=2$ は定義されない。この点は上の円周上にあるので、$C$ は点 $2$ を除く、中心 $1+2i$、半径 $\sqrt{5}$ の円である。

(2)

$C$ 上で実数となる点は、$y=0$ を円の方程式に代入して得られる。$(x-1)^{2}+4=5$ より $x=0,\,2$ だが、$z=2$ は除くので $A=0$ である。よって
$$|A-B|=|0-(5-5i)|=\sqrt{5^{2}+(-5)^{2}}=5\sqrt{2}.$$

(3)

点 $z=x+yi$ が $C$ 上にあるなら $y\leqq2+\sqrt{5}$ である。任意の実数 $a$ とこの $z$ に対して
$$|z-(a+6i)|=\sqrt{(x-a)^{2}+(y-6)^{2}}\geqq6-y\geqq4-\sqrt{5}.$$
円の最上点 $z=1+(2+\sqrt{5})i$ は除外点 $2$ ではなく、ここで $a=1$ とすると両方の不等号で等号が成り立つ。したがって求める値は $a=1$、最小距離は $4-\sqrt{5}$ である。