4神戸大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(1) 直線 $AB$ 上の点を $X=(-4+r,-1+r,-r)$ とおく。このとき
$$z_X+2x_X-y_X+1=-6.$$
一方、$P=(s,t,-2s+t-1)$ では
$$z_P+2x_P-y_P+1=0.$$
よって $P$ は直線 $AB$ 上にない。$A\ne B$ なので、$A,B,P$ は一直線上にない。

(2) $\overrightarrow{AB}=(1,1,-1)$ とし、垂足を $H=A+u\overrightarrow{AB}$ とおく。直交条件 $(P-H)\cdot\overrightarrow{AB}=0$ より
$$(s+4-u)+(t+1-u)-(-2s+t-1+u)=3(s+2-u)=0,$$
したがって $u=s+2$。ゆえに
$$H=(-4+s+2,\,-1+s+2,\,-s-2)=(s-2,s+1,-s-2).$$

(3) $P-H=(2,t-s-1,t-s+1)$ なので
$$PH^2=4+(t-s-1)^2+(t-s+1)^2=6+2(t-s)^2\geqq6.$$
等号は $t=s$ のときに成り立つ。また
$$|AB|=\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt3.$$
従って
$$[ABP]=\frac12|AB|\cdot PH =\frac{\sqrt3}{2}\sqrt{6+2(t-s)^2} \geqq\frac{3\sqrt2}{2},$$
等号は $t=s$ で成立する。