2神戸大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(1)
$a_{n}=\sqrt{n^{2}+1}-n$ は、分子と分母に $\sqrt{n^{2}+1}+n$ をかけて有理化すると
$$a_{n}=\dfrac{(n^{2}+1)-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+1}+n}=\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+1}+n}$$
となる。$\sqrt{n^{2}+1}+n>0$ より $a_{n}>0$ である。また $n\geqq 1$ のとき $\sqrt{n^{2}+1}+n\geqq \sqrt{2}+1>1$ なので $a_{n}<1$ である。よって $0<a_{n}<1$ が成り立つ。

(2)
(1) より $\dfrac{1}{a_{n}}=\sqrt{n^{2}+1}+n$ なので
$$3n-\dfrac{1}{a_{n}}=2n-\sqrt{n^{2}+1}$$
である。この数が $n-1$ と $n$ の間にあることを示す。
- $2n-\sqrt{n^{2}+1}<n$ は $n<\sqrt{n^{2}+1}$ と同じで、両辺が正で 2 乗すると $n^{2}<n^{2}+1$ だから成り立つ。
- $2n-\sqrt{n^{2}+1}>n-1$ は $n+1>\sqrt{n^{2}+1}$ と同じで、両辺を 2 乗すると $n^{2}+2n+1>n^{2}+1$、すなわち $n>0$ だから成り立つ。
よって、整数部分は $n-1$ である。小数部分は
$$b_{n}=\left(2n-\sqrt{n^{2}+1}\right)-(n-1)=n+1-\sqrt{n^{2}+1}$$
であり、これは $b_{n}=1-a_{n}$ に等しい。

(3)
(2) より $a_{m}+b_{n}=a_{m}+1-a_{n}$ なので、$a_{m}+b_{n}=1$ となるのは $a_{m}=a_{n}$ のときに限る。
$a_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+1}+n}$ は、分母が $n$ とともに増えるので、$n$ とともに狭義に減少する。したがって、$m\neq n$ なら $a_{m}\neq a_{n}$ である。
よって、$m\neq n$ のとき $a_{m}+b_{n}\neq 1$ である。