III日本大学 2025年 数学 第III問解答・解説

第3問

(1) $\vec{a}=\overrightarrow{OA}$、$\vec{b}=\overrightarrow{OB}$とおくと
$$|\vec{a}|^2=9,\quad |\vec{b}|^2=4,\quad \vec{a}\cdot\vec{b}=3.$$
また
$$|\vec{b}-\vec{a}|^2=4+9-2\cdot3=7>0.$$
$H$は辺$AB$上にあり、$AH:HB=t:(1-t)$より
$\overrightarrow{OH}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}$である。$OH\perp AB$だから
$$0=\overrightarrow{OH}\cdot(\vec{b}-\vec{a}) =(1-t)(3-9)+t(4-3)=-6+7t.$$
よって$t=\dfrac67$。これは$0<t<1$を満たすので、垂足は辺$AB$上にある。

(2) $\overrightarrow{OP}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}$とする。三角形は
$$|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2=36-9=27>0$$
より退化しておらず、$\vec{a},\vec{b}$は一次独立である。$P$は$A$からの高さ上にあるので$PA\perp OB$、また$B$からの高さ上にあるので$PB\perp OA$である。従って
$$(\overrightarrow{OP}-\vec{a})\cdot\vec{b}=0 \quad\text{より}\quad 3\alpha+4\beta=3,$$
$$(\overrightarrow{OP}-\vec{b})\cdot\vec{a}=0 \quad\text{より}\quad 9\alpha+3\beta=3.$$
第1式を3倍して第2式との差をとると$9\beta=6$、すなわち$\beta=2/3$。これを第1式に代入して$\alpha=1/9$を得る。
$$\boxed{\overrightarrow{OP}=\frac19\overrightarrow{OA}+\frac23\overrightarrow{OB}}$$