1神戸大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1)

$x^{3}-x=x(x-1)(x+1)$ の符号より
$$f(x)=\begin{cases} -x^{3}+x&(x\leqq-1\text{ または }0\leqq x\leqq1),\\ x^{3}-x&(-1\leqq x\leqq0\text{ または }x\geqq1) \end{cases}$$
零点は $-1$、$0$、$1$。両端で $f(x)\to+\infty$。$-1<x<0$ と $0<x<1$ の範囲では、それぞれ端点で0となる山形の部分を描く。零点は折れ曲がった極小点である。

(2)

$x=-1$ は常に共有点である。$x\neq-1$ では
$$k=\begin{cases} -(x^{2}-x)&(x<-1),\\ |x(x-1)|&(x>-1). \end{cases}$$
$x<-1$ では $x^{2}-x>2$ なので、追加の交点は $k<-2$ の場合だけ1個。$x>-1$ では、$-1<x<0$ の範囲の $x^{2}-x$ は2から0へ減少し、$x>1$ の範囲の $x(x-1)$ は0から増加する。$0<x<1$ では $x(1-x)=\dfrac{1}{4}-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}$ だから最大値は $\dfrac{1}{4}$。よって $k=\dfrac{1}{4}$ では、常にある $x=-1$ に加えて、$-1<x<0$、$0<x<1$、$x>1$ の各範囲に1点ずつあり、ちょうど4点となる。その他の $k$ では4点とならない。解くと4つの $x$ 座標は
$$-1,\quad\dfrac{1-\sqrt{2}}{2},\quad\dfrac{1}{2},\quad\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}.$$

絶対値の符号でグラフを区間ごとに描く。共有点のうち $x=-1$ は常に存在する。他の点は $x=-1$ の左右に分けて式を約分し、二次式の区間ごとの値域から交点の数を数える。中央区間の最大値が $\dfrac{1}{4}$ となる場合にだけ合計4点となる。