4山口大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(1) $x=\dfrac{\alpha}{2},\ y=\dfrac{\beta}{2},\ z=\dfrac{\gamma}{2}$ とおくと、$x,y,z>0$、$x+y+z=\pi$ である。加法定理より、$$\begin{aligned}\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma+1&=\cos2x+\cos2y+\cos2z+1\\&=2\cos(x+y)\cos(x-y)+2\cos^2z\\&=2\cos z\{\cos z-\cos(x-y)\}\\&=-2\cos z\{\cos(x+y)+\cos(x-y)\}\\&=-4\cos x\cos y\cos z.\end{aligned}$$$$\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma +1=\cos 2x+\cos 2y+\cos 2z+1$$$$=2\cos (x+y)\cos (x-y)+2{\cos }^{2}z$$$$=2\cos z\{\cos z-\cos (x-y)\}$$$$=-2\cos z\{\cos (x+y)+\cos (x-y)\}$$$$=-4\cos x\cos y\cos z.$$ここで、条件$\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=-1$より左辺は$0$だから、$\cos x\cos y\cos z=0$である。したがって$\cos x,\cos y,\cos z$のいずれかが$0$となる。$0<x,y,z<\pi$より、その角は$\pi/2$であるから、$\alpha,\beta,\gamma$のいずれか一つは$\pi$である。よって命題Pは真である。

(2) $O$を原点とし、$A,B,C,G$の位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{g}$とする。$G$は重心なので$\vec{g}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$であり、$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=R$である。条件$R=3OG$から$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=3|\vec{g}|=R$を得る。ゆえに$$\begin{aligned}R^2&=|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2\\&=3R^2+2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}).\end{aligned}$$$$R^2=|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}{|}^2$$$$=3R^2+2(\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{c}\cdot \vec{a}).$$頂点の名前を必要なら入れ替え、円周上でA,B,Cの順に並んでいるとする。円周に沿ってAからB、BからC、CからAへ進む三つの弧の角度を$\alpha,\beta,\gamma$とする。これらは正で$\alpha+\beta+\gamma=2\pi$を満たす。円周上で続く弧の角度が$\pi$を超える場合、二つの半径のなす通常の中心角はその角度を$2\pi$から引いた値だが、余弦は変わらない。したがって、$\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}=R^2(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)$である。したがって上式から$\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=-1$となる。命題Pより、三つの弧のうち一つの中心角は$\pi$である。よってその弧の両端の二頂点を結ぶ線分は外接円の直径である。その直径を見込む円周角は$\pi/2$だから、$\triangle ABC$は直角三角形である。よって命題Qも真である。