I横浜市立大学 2026年 数学 第I問解答・解説

対数の定義域と単調性で(1)を二次不等式に整理し、(2)では円の中心から直線までの距離を半径と等置した。(3)は導関数の符号で全体の最小値を決定し、(4)は絶対値を場合分けして円周上の上下界を求めた。

(1) 対数の真数条件から、$x+1>0$、$x-3>0$、$x+9>0$ であり、これらを合わせて $x>3$ である。このとき、対数の性質と底 $2>1$ の対数関数の単調性から、$$\begin{aligned}\log_2(x+1)+\log_2(x-3)&\leqq \log_2(x+9)+1\\\log_2\bigl((x+1)(x-3)\bigr)&\leqq \log_2\bigl(2(x+9)\bigr)\\(x+1)(x-3)&\leqq 2(x+9)\\x^2-4x-21&\leqq 0\\(x-7)(x+3)&\leqq 0.\end{aligned}$$$${\log }_2(x+1)+{\log }_2(x-3)\leqq {\log }_2(x+9)+1$$$${\log }_2((x+1)(x-3))\leqq {\log }_2(2(x+9))$$$$(x+1)(x-3)\leqq 2(x+9)$$$$x^2-4x-21\leqq 0$$$$(x-7)(x+3)\leqq 0.$$したがって $-3\leqq x\leqq 7$ であり、これと $x>3$ を合わせると $3<x\leqq 7$ となる。該当する整数は $4,5,6,7$ の4個である。

(2) 円の方程式を平方完成すると $(x-3)^2+y^2=5$ だから、中心は $(3,0)$、半径は $\sqrt{5}$ である。傾きを $m$ とすると、点 $(2,3)$ を通る直線は $y-3=m(x-2)$、すなわち $mx-y+3-2m=0$ と表せる。中心からこの直線までの距離は $\dfrac{|3m+3-2m|}{\sqrt{m^2+1}}=\dfrac{|m+3|}{\sqrt{m^2+1}}$ である。接するためにはこの距離が半径 $\sqrt{5}$ に等しいので、$$\begin{aligned}\frac{|m+3|}{\sqrt{m^2+1}}&=\sqrt{5}\\(m+3)^2&=5(m^2+1)\\2m^2-3m-2&=0\\(2m+1)(m-2)&=0.\end{aligned}$$$$\frac{|m+3|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt{5}$$$$(m+3{)}^2=5(m^2+1)$$$$2m^2-3m-2=0$$$$(2m+1)(m-2)=0.$$よって $m=-\frac12,2$ であり、傾きが正なのは $m=2$ である。したがって求める直線は $y-3=2(x-2)$、すなわち $y=2x-1$ である。

(3) $f'(x)=4x^3-4x^2-8x=4x(x+1)(x-2)$ より、停留点は $x=-1,0,2$ である。導関数の符号は、$x<-1$ で負、$-1<x<0$ で正、$0<x<2$ で負、$x>2$ で正となる。したがって極小値をとるのは $x=-1,2$ である。また、$x\to\pm\infty$ のとき $f(x)\to\infty$ なので、全体での最小値はこれらの値を比べればよい。$$\begin{aligned}f(-1)&=1+\frac43-4=-\frac53,\\f(2)&=16-\frac{32}{3}-16=-\frac{32}{3}.\end{aligned}$$$$f(-1)=1+\frac{4}{3}-4=-\frac{5}{3},$$$$f(2)=16-\frac{32}{3}-16=-\frac{32}{3}.$$ゆえに最小値は $-\dfrac{32}{3}$ である。

(4) $|x|\geqq |y|$ のとき、$x+y$ と $x-y$ はともに $x$ と同符号または0であるから、$S=2|x|$ となる。$|y|\geqq |x|$ のときは、$x+y$ と $x-y$ は異符号または0であるから、$S=2|y|$ となる。よって常に $S=2\max(|x|,|y|)$ である。条件 $x^2+y^2=R$ より $\max(|x|,|y|)^2\leqq R$ であり、等号は $(x,y)=(\sqrt R,0)$ などで成り立つ。したがって $M=2\sqrt R$ である。一方、$\max(|x|,|y|)^2\geqq \dfrac{x^2+y^2}{2}=\dfrac R2$ であり、等号は $x^2=y^2=R/2$ のときに成り立つ。よって $L=2\sqrt{R/2}=\sqrt{2R}$ である。したがって $\dfrac ML=\dfrac{2\sqrt R}{\sqrt{2R}}=\sqrt2$ である。