II愛知医科大学 2024年 数学 第II問解答・解説

(1)

楕円上では $\left(\dfrac{x}{2}\right)^{2}+y^{2}=1$ である。コーシー・シュワルツの不等式より
$$|ax+by|=\left|2a\cdot\dfrac{x}{2}+by\right|\leqq\sqrt{4a^{2}+b^{2}}\sqrt{\left(\dfrac{x}{2}\right)^{2}+y^{2}}=\sqrt{4a^{2}+b^{2}}.$$
よって直線 $AD$ が接線であることから
$$d_{1}=\dfrac{\sqrt{4a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.$$
$AD$ の法線ベクトルは $(a,\,b)$。隣辺 $AB$ の法線ベクトルは $(-b,\,a)$ だから、同様に
$$d_{2}=\dfrac{\sqrt{a^{2}+4b^{2}}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.$$

(2)

長方形の辺の長さは $2d_{1}$、$2d_{2}$ なので、対角線の長さは
$$L=2\sqrt{d_{1}^{2}+d_{2}^{2}}=2\sqrt{5}.$$

(3)

面積は $S=4d_{1}d_{2}$ である。$u=\dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}$ とおけば $0\leqq u\leqq1$ であり、
$$\dfrac{S^{2}}{16}=(1+3u)(4-3u)=\dfrac{25}{4}-9\left(u-\dfrac{1}{2}\right)^{2}\leqq\dfrac{25}{4}.$$
したがって $S\leqq10$。等号は $u=\dfrac{1}{2}$、すなわち $a^{2}=b^{2}$ のときに成立する。
$a=b=1$ とすれば接線は $x+y=\pm\sqrt{5}$ および $-x+y=\pm\sqrt{5}$ であり、その交点は
$$(\sqrt{5},\,0),\quad(0,\,\sqrt{5}),\quad(-\sqrt{5},\,0),\quad(0,\,-\sqrt{5}).$$