1兵庫医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

次の(1)から(5)までの各問いに答えよ。

(1) 次の不等式を満たす整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10}2=0.3010$、$\log_{10}3=0.4771$ とする。

$$6^{n}<5^{20}<6^{n+1}$$

(2) 実数 $x,\,y$ が $x^{2}-2x+y^{2}-3=0$ を満たすとき、

(a) $|x|+|y|$ の最小値とそのときの $x$ および $y$ の値を求めよ。

(b) $|x|+|y|$ の最大値とそのときの $x$ および $y$ の値を求めよ。

(3) $xyz$ 空間において、2点 $(5,\,1,\,2)$、$(-3,\,7,\,12)$ を直径の両端とする球面がある。この球面が、$z$ 軸から切り取る線分の長さを求めよ。

(4) 次の定積分を求めよ。

$$\displaystyle\int_{0}^{1}(x+2)(x-1)^{9}\,dx$$

(5) 次の文章は、「貯蓄額や所得の多い少ないは『学歴』と関係あるのか？」という記事$^{1}$からの抜粋である。

表は厚生労働省の令和元年国民生活基礎調査から、学歴ごとの平均所得金額（15歳以上の雇用者1人あたり）をまとめたものです。（中略）男性・女性ともに専門学校・短大・高専卒の方が所得金額が多いのに、総数となると高校・旧制中卒の方が多いのは統計上の謎です。

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} & \begin{gathered}\text{小学・中学}\\\text{卒業}\end{gathered} & \begin{gathered}\text{高校・旧制中}\\\text{卒業}\end{gathered} & \begin{gathered}\text{専門学校・短大・}\text{高専卒業}\end{gathered} & \begin{gathered}\text{大学・大学院}\\\text{卒業}\end{gathered}\\ \hline \text{総数} & 245.2\text{万円} & 303.5\text{万円} & 278.6\text{万円} & 487.4\text{万円}\\ \text{男性} & 300.8\text{万円} & 404.6\text{万円} & 409.0\text{万円} & 584.6\text{万円}\\ \text{女性} & 160.5\text{万円} & 186.1\text{万円} & 216.6\text{万円} & 291.5\text{万円} \end{array}$$

男性の所得金額も女性の所得金額もともに、専門学校・短大・高専卒業の方が、高校・旧制中卒業より多いのに、総数（$\text{男性}+\text{女性}$）では、逆転した結果になっている。これはどうしてか、説明しなさい。

$^{1}$ あるじゃん All About マネー、「貯蓄額や所得の多い少ないは学歴と関係あるのか？」、https://allabout.co.jp/gm/gc/471199（参照 2022-09-02）。