2神戸大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(1)
$C$ と $\ell_{1}$ の式から $y$ を消去すると
$$ax^{2}+bx+c=-3x+3 \quad\text{より}\quad ax^{2}+(b+3)x+(c-3)=0$$
$\ell_{1}$ は $C$ に接するから、この2次方程式は重解をもつ。判別式より
$$(b+3)^{2}=4a(c-3) \quad\cdots\text{①}$$
同様に、$\ell_{2}$ と $C$ の式から $ax^{2}+(b-1)x+(c-3)=0$ が重解をもつから
$$(b-1)^{2}=4a(c-3) \quad\cdots\text{②}$$
である。①−② より $(b+3)^{2}-(b-1)^{2}=8b+8=0$ となり、$b=-1$ である。
このとき②は $4=4a(c-3)$ となり、$a\neq 0$ より $c-3=\dfrac{1}{a}$。よって $c=3+\dfrac{1}{a}$ である。
(2)
$b=-1$、$c=3+\dfrac{1}{a}$ より、$C$ と $x$ 軸の交点の $x$ の2次方程式 $ax^{2}-x+c=0$ の判別式は
$$D=(-1)^{2}-4ac=1-4a\left(3+\dfrac{1}{a}\right)=-12a-3$$
である。$C$ が $x$ 軸と異なる2点で交わるから $D>0$、すなわち $a<-\dfrac{1}{4}$ である。
$a<-\dfrac{1}{4}<0$ であるから、両辺の逆数をとると不等号の向きが変わり、
$$-4<\dfrac{1}{a}<0$$
となる。
(3)
$t=\dfrac{1}{a}$ とおく。(1)、(2) より $b=-1$、$c=3+t$、$-4<t<0$ である。
接点 $P$ は $\ell_{1}$ との接点で、$ax^{2}+2x+\dfrac{1}{a}=0$ の重解 $x=-\dfrac{1}{a}=-t$ である。$y=-3(-t)+3=3t+3$ より $P(-t,\,3t+3)$ である。
接点 $Q$ は $\ell_{2}$ との接点で、$ax^{2}-2x+\dfrac{1}{a}=0$ の重解 $x=\dfrac{1}{a}=t$ である。$y=t+3$ より $Q(t,\,t+3)$ である。
頂点 $R$ の $x$ 座標は $-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2a}=\dfrac{t}{2}$、$y$ 座標は $c-\dfrac{b^{2}}{4a}=3+t-\dfrac{t}{4}=3+\dfrac{3t}{4}$ であるから、$R\left(\dfrac{t}{2},\,3+\dfrac{3t}{4}\right)$ である。
三角形 $PQR$ の重心を $G(X,\,Y)$ とすると
$$X=\dfrac{-t+t+\dfrac{t}{2}}{3}=\dfrac{t}{6},\qquad Y=\dfrac{(3t+3)+(t+3)+\left(3+\dfrac{3t}{4}\right)}{3}=3+\dfrac{19t}{12}$$
である。$t=6X$ を $Y$ の式に代入すると $Y=\dfrac{19}{2}X+3$ となる。
また $-4<t<0$ より $-\dfrac{2}{3}<X<0$ である。
なお、$\overrightarrow{PQ}=(2t,\,-2t)$、$\overrightarrow{PR}=\left(\dfrac{3t}{2},\,-\dfrac{9t}{4}\right)$ で、$t\neq 0$ より両者は平行でないから、$P,\,Q,\,R$ は一直線上になく三角形をつくる。
したがって、重心 $G$ の軌跡は直線 $y=\dfrac{19}{2}x+3$ のうち $-\dfrac{2}{3}<x<0$ の部分（両端を含まない）である。