4大阪大学 2024年 数学 第4問解答・解説

(1) 円 $C$ の方程式は $(x-a)^2+y^2=1$ である。水平断面を考えると、$-1\leqq y\leqq1$ において右端は $x=a+\sqrt{1-y^2}$ であり、回転前の図形は $x=0$ からこの右端までを含む。したがって、これを $y$ 軸のまわりに回転した断面は半径 $a+\sqrt{1-y^2}$ の円板である。

$$\begin{aligned} V_1 &=\pi\int_{-1}^{1}\left(a+\sqrt{1-y^2}\right)^2\,dy\\ &=\pi\left(2a^2+2a\int_{-1}^{1}\sqrt{1-y^2}\,dy +\int_{-1}^{1}(1-y^2)\,dy\right). \end{aligned}$$$$V_1=\pi {\int }_{-1}^1{\left(a+\sqrt{1-y^2}\right)}^{2}dy$$$$=\pi \left(2a^2+2a{\int }_{-1}^1\sqrt{1-y^2}dy+{\int }_{-1}^1(1-y^2)dy\right).$$

$\int_{-1}^{1}\sqrt{1-y^2}\,dy=\frac{\pi}{2}$ は半径1の半円の面積であり、$\int_{-1}^{1}(1-y^2)\,dy=\frac43$ だから、

$$V_1=\pi\left(2a^2+\pi a+\frac43\right).$$

(2) $r=\sqrt{1-y^2}$ とおく。$a>1$ より $a-r\geqq a-1>0$ であるから、各水平断面は内半径 $a-r$、外半径 $a+r$ の円環となる。よって

$$\begin{aligned} V_2 &=\pi\int_{-1}^{1}\left\{(a+r)^2-(a-r)^2\right\}\,dy\\ &=4\pi a\int_{-1}^{1}\sqrt{1-y^2}\,dy =2\pi^2a. \end{aligned}$$$$V_2=\pi {\int }_{-1}^1\left\{(a+r{)}^2-(a-r{)}^2\right\}dy$$$$=4\pi a{\int }_{-1}^1\sqrt{1-y^2}dy=2{\pi }^{2}a.$$

$V_1=2V_2$ とすると

$$2a^2-3\pi a+\frac43=0, \qquad a=\frac{3\pi\pm\sqrt{9\pi^2-\frac{32}{3}}}{4}.$$

この二次式を $f(a)$ とすると $f(1)=\frac{10}{3}-3\pi<0$ であり、上に開く放物線なので $1$ は二つの解の間にある。条件 $a>1$ を満たすのは大きい方の解だけである。

$$\boxed{a=\frac{3\pi+\sqrt{9\pi^2-\frac{32}{3}}}{4}}$$

水平断面の半径は回転体 $V_1$ で $a+\sqrt{1-y^2}$。積分すると $V_1=\pi(2a^2+\pi a+\frac43)$。円板を回転する $V_2$ は内半径 $a-r$、外半径 $a+r$ の円環（$r=\sqrt{1-y^2}$）となり、$V_2=2\pi^2a$。$V_1=2V_2$ から二次方程式を得る。$a>1$ を満たす根は大きい方。