1神戸大学 2024年 数学 第1問解答・解説

関数 $f_t(x)=x+\sqrt{t-x^2}\; (0\leqq x\leqq\sqrt t)$ を考える。ただし $t>0$ とする。
$$f_t(x)^2=t+2x\sqrt{t-x^2}\leqq t+x^2+(t-x^2)=2t,$$ここで不等式は $2x\sqrt{t-x^2}\leqq x^2+(t-x^2)$ より従う。定義域では $x\geqq0$ かつ $\sqrt{t-x^2}\geqq0$ なので $f_t(x)\geqq0$ である。したがって上の平方の評価から $f_t(x)\leqq\sqrt{2t}$ が従う。また等号成立は $x=\sqrt{t-x^2}$ のときであり、定義域内では $x=\sqrt{t/2}$ である。よって $f_t(x)$ は $x=\sqrt{t/2}$ で最大となる。

(1) $t=c$ とすれば、最大値をとるときの $x$ は $$a_1=\sqrt{\frac{c}{2}}.$$

(2) $t=a_n$ とすれば、定義より $$a_{n+1}=\sqrt{\frac{a_n}{2}}.$$ よって $a_n>0$ を用いて対数をとると、$$b_{n+1}=\log_2 a_{n+1}=\log_2\sqrt{\frac{a_n}{2}}=\frac12(\log_2 a_n-1)=\frac12b_n-\frac12.$$

(3) 初項は $b_1=\frac12\log_2(c/2)$ である。(2)より $b_{n+1}+1=\frac12(b_n+1)$ だから、$$b_n+1=\left(\frac12\right)^{n-1}(b_1+1)=\left(\frac12\right)^{n-1}\cdot\frac12\log_2(2c)=\frac{\log_2(2c)}{2^n}.$$ したがって $$b_n=-1+\frac{\log_2(2c)}{2^n}\quad(n=1,2,\ldots).$$