II日本医科大学 2023年 数学 第II問解答・解説

球面の差で共通円を含む平面を出す。底面の面積を決めた後、平面条件で一変数を消去し、球面上に点が存在するzの範囲を二次方程式の判別式で調べる。

問1で、2つの球面の方程式を展開すると
$$S_1:\ x^2+y^2+z^2-4z+3=0,\qquad S_2:\ x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+9=0.$$
共通点では両式の差が0なので、交わり $E$ を含む平面は
$$\pi:\ x+2y+z=3.$$

問2では $xy$ 平面上で $z=0$ とすれば
$$\ell:\ x+2y=3.$$
問3でこれを $y$ 軸に関して対称移動するには $x$ を $-x$ に置き換えるので
$$m:\ -x+2y=3.$$

問4で、$\ell$ と $m$ の交点は $A=(0,3/2,0)$、$m$ と $x$ 軸の交点は $B=(-3,0,0)$、$\ell$ と $x$ 軸の交点は $C=(3,0,0)$。従って $BC=6$、点 $A$ から $BC$ までの高さは $3/2$ であり、底面積は
$$[ABC]=\frac12\cdot6\cdot\frac32=\frac92.$$

$P=(x,y,z)\text{ を }E\text{ 上の点}$ とする。$P\text{ が平面 }\pi\text{ 上にあること}$ より $x=3-2y-z$。これを $S_1$ に代入すると
$$(3-2y-z)^2+y^2+(z-2)^2=1,$$
すなわち $y$ について
$$5y^2+(4z-12)y+2z^2-10z+12=0. \tag{1}$$
この二次方程式が実数解をもつため、その判別式は0以上である。従って
$$(4z-12)^2-20(2z^2-10z+12)\geqq0,$$
$$-8(3z^2-13z+12)=-8(3z-4)(z-3)\geqq0.$$
よって $4/3\leqq z\leqq3$。また $P$ が $xy$ 平面上にないので、四面体の高さは $|z|=z$ であり、体積は
$$V=\frac13[ABC]z=\frac32z\geqq2.$$
$z=4/3$ のとき、(1)の判別式が0となり、重解
$$y=-\frac{4z-12}{10}=\frac23$$
を得る。平面の式から $x=3-2y-z=1/3$。この点は $S_1$ 上にあり、かつ $\pi$ 上にある。2球面の方程式の差は $-2(x+2y+z-3)=0$ なので、$\pi$ 上で $S_1$ の点は同時に $S_2$ 上にもある。実際、$P=(1/3,2/3,4/3)$ を代入すると $S_1$ の左辺は $1/9+4/9+4/9=1$、$S_2$ の左辺は $4/9+16/9+25/9=5$。したがって最小値は達成され、$V_{\min}=2$ である。