3神戸大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1) $1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6$ のすべてが $n$ の約数となるので、$n$ は $1$ から $6$ までの最小公倍数 $60$ の倍数である。すなわち $n=60k$（$k$ は自然数）。したがって、小さい順に $n=60,\,120,\,180$ である。

(2) $1$ は常に $n$ の約数だから、$2,\,3,\,4,\,5,\,6$ のうちちょうど 4 個が $n$ の約数である必要がある。
2 が $n$ の約数でなければ 4、6 も約数でなく、3 が約数でなければ 6 も約数でない。また、6 が約数でないときは 2、3 の少なくとも一方も約数でない。
よって、約数でない数としてあり得るのは 4 または 5 だけである。
5 だけが約数でない場合は、$n$ は 12 の倍数で、5 の倍数ではない。その最初の候補は $12,\,24,\,36,\,\cdots$ である。
4 だけが約数でない場合は、$n$ は 30 の倍数で、4 の倍数ではない。最小の候補は 30 である。
これらを小さい順に並べると $n=12,\,24,\,30$ である。

(3) $160=2^{5}\cdot5$ である。積が 160 の約数となるには、出た目に 3 または 6 が含まれてはならず、5 は高々 1 回、4 は 3 回同時に出てはならない。
5 が出ない場合、各回の目は 1、2、4 のいずれかであり、$3^{3}=27$ 通りある。このうち $(4,4,4)$ だけは積が $2^{6}$ となって条件を満たさないので、26 通り。
5 がちょうど 1 回出る場合は、その位置が 3 通り、残る 2 回はそれぞれ 1、2、4 の 3 通りずつだから、$3\cdot3^{2}=27$ 通りで、すべて条件を満たす。
したがって有利な場合は $26+27=53$ 通り。全事象は $6^{3}=216$ 通りなので、求める確率は $\dfrac{53}{216}$ である。