1名古屋大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1)

$\alpha$は中心1、半径1の円周上にあるので$|\alpha-1|=1$である。両辺を2乗すると$(\alpha-1)(\overline{\alpha}-1)=1$、すなわち$\alpha\overline{\alpha}-\alpha-\overline{\alpha}=0$となる。よって$\alpha+\overline{\alpha}=\alpha\overline{\alpha}$である。

(2)

(1)と同様に$\beta+\overline{\beta}=\beta\overline{\beta}=u$となる。よって根を2組に分けると
$$\begin{aligned} &(x-\alpha)(x-\overline{\alpha})(x-\beta)(x-\overline{\beta})\\ &=(x^{2}-tx+t)(x^{2}-ux+u)\\ &=x^{4}-(t+u)x^{3}+(t+u+tu)x^{2}-2tu\,x+tu. \end{aligned}$$$$(x-\alpha )(x-\overline{\alpha })(x-\beta )(x-\overline{\beta })$$$$=(x^2-tx+t)(x^2-ux+u)$$$$=x^4-(t+u)x^3+(t+u+tu)x^2-2tux+tu.$$
係数を比較して
$$p=t+u,\quad q=t+u+tu,\quad r=2tu,\quad s=tu.$$

(3)：$t,\,u$の条件

4解は相異なるので、$\alpha,\,\beta$は実数ではない。円周上の点の実部は0から2の間にあり（実数となる両端の点は許されないため）、$t=\alpha+\overline{\alpha}$は$\alpha$の実部の2倍なので、
$$0<t<4,\qquad 0<u<4.$$
また$t=u$なら二次式$x^{2}-tx+t$と$x^{2}-ux+u$が同じになり、4解が相異ならない。従って$t\ne u$である。
逆に$0<t,\,u<4$、$t\ne u$を取ると、それぞれの二次式の判別式$t^{2}-4t$、$u^{2}-4u$は負であり、各々が異なる非実共役解をもつ。
$x^{2}-tx+t=0$の解$\alpha$について、解と係数の関係から$\alpha+\overline{\alpha}=\alpha\overline{\alpha}=t$なので、$|\alpha-1|^{2}=\alpha\overline{\alpha}-(\alpha+\overline{\alpha})+1=1$である。$u$についても同様である。
さらに、両二次式に共通根$z$があれば差を取って$(u-t)(z-1)=0$、従って$z=1$となるが、$1^{2}-t+t=1\ne0$で矛盾する。よって4解は相異なる。
以上より、$t,\,u$の必要十分条件は$0<t,\,u<4$かつ$t\ne u$である。

(3)：$(p,\,s)$の条件と図

$p=t+u$、$s=tu$より
$$0<p<8,\qquad s>0,\qquad p^{2}-4s=(t-u)^{2}>0,\qquad 16-4p+s=(4-t)(4-u)>0.$$
従って求める範囲は
$$0<p<8,\qquad \max\{0,\,4p-16\}<s<\dfrac{p^{2}}{4}$$
である。
これらの不等式が十分であることも確認する。二次方程式$X^{2}-pX+s=0$は判別式が正なので異なる実根$t,\,u$をもつ。$s>0$、$p>0$より両根は正である。$(4-t)(4-u)>0$だから、両根がともに4未満か、ともに4より大きいかのいずれかである。後者は$p=t+u<8$に反するので、$0<t,\,u<4$となる。これで十分性も示された。
図示した領域（境界は含まない）が答えである。特に$p=4$上では$0<s<4$の部分を含むが、端の$(4,\,0)$、$\,(4,\,4)$は含まない。