1滋賀医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

放物線上では $y=x^2$ であるから、$t=x^2$ とおくと $t\geqq0$ であり、円との共有点の条件は$$t+(t-s)^2=r^2$$
となる。$t>0$ の解1つにつき $x=\pm\sqrt{t}$ の2点が対応し、$t=0$ の解には $x=0$ の1点だけが対応する。したがって、$t=0$ が解かどうかで $N$ の奇偶が決まり、正の t の解1つにつき共有点が2点増える。この方程式を整理すると$$t^2+(1-2s)t+s^2-r^2=0.$$
この二次方程式の判別式と解の和・積は$$D=(1-2s)^2-4(s^2-r^2)=4r^2-4s+1,\qquad t_1+t_2=2s-1,\qquad t_1t_2=s^2-r^2$$である。
(1) $t=0$ が解であることは $s^2-r^2=0$ と同値であり、$r,s>0$ より $r=s$ である。実際、$r=s$ のとき$$t^2+(1-2s)t=t(t+1-2s)=0$$
となり、$s\leqq\frac12$ なら $t=0$ のみ（$s=\frac12$ では重解）、$s>\frac12$ なら $t=0$ と $t=2s-1>0$ が解である。したがって $N$ はそれぞれ1または3であり、いずれも奇数となる。
(2) $r>s$ なら $t_1t_2<0$ である。二次方程式は正負1つずつの実数解をもち、$t>0$ の解は1つだから $N=2$ である。$r=s$ では (1) より $N$ は奇数である。$r<s$ のときは $t_1t_2>0$ であり、実数解が2つあれば同符号となる。異なる2解がある場合、和 $2s-1$ の符号により両方負または両方正となるため、正の解がちょうど1つとなることはない。したがってこの場合に $N=2$ となるのは重解が正のときに限る。重解の条件 $D=0$ は $s=r^2+\frac14$ であり、その重解は $t=s-\frac12$ である。これが正となる条件は $s>\frac12$、すなわち $r>\frac12$ である。よって範囲は $r>s>0$、または $s=r^2+\frac14$ かつ $r>\frac12$ である。
(3) $r>s$ なら $N=2$、$r=s$ なら $N$ は奇数なので、$N=0$ には $r<s$ が必要である。$r<s$ のもとで $D<0$ なら実数解がなく $N=0$ である。$D=0$ のときは重解 $t=s-\frac12$ なので、$s<\frac12$ なら負の解となり $N=0$ である。$D>0$ のときは2解が同符号であり、和 $2s-1$ が負となる $s<\frac12$ では両方負なので $N=0$ となる。$s=\frac12$ かつ $r<s$ なら $D=4r^2-1<0$ である。以上より、$0<s\leqq\frac12$ では $r<s$ なら $N=0$ である。一方 $s>\frac12$ では、$D<0$ の場合に限り $N=0$ となり、$D<0$ は $r^2<s-\frac14$ と同値である。これらが求める範囲である。
横軸を $r$、縦軸を $s$ とする。影を付けた部分は条件を満たす領域、実線は含み、破線は含まない境界を表す。図は $r>0,\ s>0$ の範囲を示す。