1神戸大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1) $x\leqq1$ では $f(x)-x=(1-x)/2\geqq0$、$x>1$ では $f(x)-x=x-1>0$。従って全ての実数 $x$ に対し $f(x)\geqq x$。
(2) $a_1=a\leqq1$。$a_n\leqq1$ なら $a_{n+1}=(a_n+1)/2\leqq1$ なので、帰納法により全ての項が1以下となる。
(3) $a\leqq1$ のとき(2)より $a_{n+1}-1=(a_n-1)/2$。従って $a_n-1=(a-1)/2^{n-1}$。
$a>1$ のときは、$a_n>1$ なら $a_{n+1}=2a_n-1>1$ より全ての項が1より大きい。従って $a_{n+1}-1=2(a_n-1)$ を使い、
$$\boxed{a_n=\begin{cases}1+(a-1)/2^{n-1},&a\leqq1,\\1+2^{n-1}(a-1),&a>1.\end{cases}}$$
境界 $a=1$ では全項1となり、どちらの式にも一致する。