3藤田医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

e点を二つの平行移動格子として数える。(1)で格子線分上にe点がないことを示し、(2)(3)は単位正方形と対称性で数える。(4)は座標係数によって面積の2倍が1の三角形を基本形として数え、格子点で分割する有限帰納法で一般化する。(5)は格子三角形の面積が半整数となることと正三角形の面積の無理性を比較する。

格子点とは座標がともに整数の点である。また、$e$点全体は
$$E_+=\left\{\left(m+e,n-\frac12\right):m,n\text{ は整数}\right\},\qquad E_-=\left\{\left(m-e,n-\frac12\right):m,n\text{ は整数}\right\}$$
の和集合である。$e$は無理数なのでこの二つは交わらない。

(1) 格子点$A=(x_1,y_1),B=(x_2,y_2)$を結ぶ線分上に$e$点$P$があると仮定する。$y_1=y_2$なら線分上の$y$座標は整数であり、$P$の$y$座標が半整数であることに反する。そこで$y_1\ne y_2$とする。$P=(1-t)A+tB$とおくと、$P_y$は半整数だから
$$t=\frac{P_y-y_1}{y_2-y_1}\quad\text{は有理数}.$$
したがって$P_x=(1-t)x_1+tx_2$も有理数である。一方、$P$が$e$点なら$P_x=m+e$または$m-e$（$m$ は整数）であり、$e$の無理性からこれは無理数である。矛盾する。よって線分上に$e$点はない。

(2) 正方形の辺のベクトルは整数成分をもち、長さが1なので、各辺は$x$軸または$y$軸に平行である。したがって正方形は、ある整数$a,b$に対して$a<x<a+1$ かつ $b<y<b+1$ で表される内部をもつ。$\alpha=e-2$とおくと$0.7<\alpha<0.8$であり、この$x$区間には$E_+$の点が$x=a+\alpha$に1個、$E_-$の点が$x=a+1-\alpha$に1個ある。それぞれの列から他の$x$座標はこの区間に入らない。$b<y<b+1$ を満たす半整数は$b+\frac12$ただ1つである。よって内部の$e$点は合計2個である。

(3) 平行移動や軸の向きの反転により、三角形の頂点を$(0,0),(u,0),(0,v)$（$u,v$は正整数）としてよい。これを含む長方形は$uv$個の単位正方形に分かれる。(2)より各単位正方形の内部に$e$点が2個ある。分割線は格子点を結ぶ線分なので、(1)よりその上に$e$点はない。長方形全体の内部には従って$2uv$個ある。長方形の中心に関する点対称移動は$e$点を再び$e$点へ移し、対角線の両側の二つの直角三角形を交換する。対角線上には(1)より$e$点がないので、各三角形の内部に$uv$個ずつある。三角形の面積は$uv/2$だから、求める関係が成り立つ。

(4) 三角形を平行移動して頂点を$O=(0,0),U=(r,s),V=(t,w)$（$r,s,t,w$ は整数）とおく。三角形は非退化とし、
$$\delta=rw-st,\qquad \Delta=|\delta|>0$$
とおく。座標による三角形の面積公式から面積は$\Delta/2$である。以下、内部の$e$点数が$\Delta$個であることを示す。

まず$\Delta=1$の場合を考える。平行四辺形$Q=\{\lambda U+\mu V:0\leqq\lambda,\mu\leqq1\}$を見る。$E_+$の点$P_0=(x,y)$について、$\delta=\pm1$なので
$$\lambda_0=\frac{wx-ty}{\delta},\qquad \mu_0=\frac{ry-sx}{\delta}$$
は$P_0=\lambda_0U+\mu_0V$を満たす。$\lambda_0,\mu_0$ からそれぞれ整数部分を引いた値を $\lambda,\mu$ とすると、$0\leqq\lambda<1,\ 0\leqq\mu<1$ である。このとき、$P=P_0-[\lambda_0] U-[\mu_0] V=\lambda U+\mu V$はなお$E_+$の点であり、$Q$内にある。同じ$E_+$の点が$Q$に二つあれば、その差は整数ベクトルである。$\delta=\pm1$の上の座標式から、その差の$U,V$に関する係数も整数であるが、二点の係数の差はともに絶対値1未満だから0である。ゆえに$Q$には$E_+$の点がちょうど1個ある。同じ議論で$E_-$の点もちょうど1個ある。$Q$の辺は格子点を結ぶ線分なので、(1)によりこれらの点は境界上になく、どちらも内部にある。

点$X$を$U+V-X$に移すと、$Q$は保たれ、整数ベクトル$U+V$を引くことにより$E_+$と$E_-$が入れ替わる。この移動は対角線$UV$で分けられる二つの三角形$OUV$と$U,V,U+V$を交換する。対角線$UV$には(1)より$e$点がない。$Q$内にある二つの$e$点はこの移動で互いに対応するので、三角形$OUV$の内部にはちょうど1個ある。面積は$1/2$であり、主張は成り立つ。

次に$\Delta>1$の場合を考える。格子点$E_1=(1,0),E_2=(0,1)$の両方が$U,V$の整数係数の和で表せると仮定し、整数$a,b,c,d$を用いて
$$(1,0)=aU+bV,\qquad(0,1)=cU+dV$$
と書く。成分を掛けて引くと
$$1=(ar+bt)(cs+dw)-(as+bw)(cr+dt)=(ad-bc)(rw-st)$$
となる。右辺は整数$ad-bc$と$\delta$の積だから$|\delta|=1$となり、$\Delta>1$に反する。よって$E_1,E_2$の少なくとも一方を$W_0$とすると、$W_0$は$U,V$の整数係数の和ではない。

$W_0=\alpha_0U+\beta_0V$と連立方程式を解くと、$\alpha_0,\beta_0$は有理数である。整数部分を引いて
$$W=W_0-[\alpha_0] U-[\beta_0] V=\alpha U+\beta V,\qquad 0\leqq\alpha,\beta<1$$
とする。$W$は格子点であり、$W_0$が整数係数の和でないため$\alpha,\beta$は同時に0ではない。$\alpha+\beta\leqq1$なら$W$は三角形$OUV$内の頂点でない格子点である。$\alpha+\beta>1$なら、格子点$U+V-W=(1-\alpha)U+(1-\beta)V$は係数が正でその和が1未満なので、三角形の内部にある。

このように、$\Delta>1$の格子三角形には頂点でない格子点がある。その点が辺上なら辺で二つの格子三角形に、内部なら三つの格子三角形に分ける。各小三角形の面積の2倍を $\Delta_i$ とすると、これは正の整数であり、面積が正なので$\Delta_i<\Delta$である。分割の辺はいずれも格子点間の線分であり、(1)により$e$点を含まない。従って内部の$e$点数も面積も小三角形ごとに加算できる。正整数$\Delta$について、これを小さくしていけば有限回で$\Delta=1$の場合に至る。既に示した場合から、元の三角形の内部の$e$点数は$\Delta$個、すなわち面積の2倍である。

(5) 格子三角形の頂点差を$(a,b),(c,d)$とすると、面積は$|ad-bc|/2$であり、有理数である。仮に格子点を頂点とする正三角形があれば、その一辺のベクトルを$(a,b)$とでき、辺の長さの2乗$N=a^2+b^2$は正の整数である。その面積は
$$\frac{\sqrt3}{4}N$$
となる。$\sqrt3$は無理数で$N/4$は0でない有理数だから、この面積は無理数である。これは格子三角形の面積が有理数であることに反する。よってそのような正三角形は存在しない。