5神戸大学 2023年 数学 第5問解答・解説

(1) $x=\sin t$ より $\frac{dx}{dt}=\cos t$。また積の微分と加法定理から
$$\frac{dy}{dt}=\cos t\cos(t-\frac\pi6)-\sin t\sin(t-\frac\pi6)=\cos(2t-\frac\pi6).$$
区間 $0\leqq t\leqq\pi$ で、$dx/dt=0$ は $t=\frac\pi2$、$dy/dt=0$ は $t=\frac\pi3,\frac{5\pi}{6}$。

(2) $0\leqq x\leqq1$ において二つの枝は
$$y=\frac{x^2}{2}\pm\frac{\sqrt3}{2}x\sqrt{1-x^2}.$$
主な点は、$t=0,\pi$ で $(0,0)$、$t=\frac\pi3$ で $(\frac{\sqrt3}{2},\frac34)$、$t=\frac\pi2$ で $(1,\frac12)$、$t=\frac{2\pi}{3}$ で $(\frac{\sqrt3}{2},0)$、$t=\frac{5\pi}{6}$ で $(\frac12,-\frac14)$。これらの点を順に結ぶ。原点で二枝が交差し、$(1,\frac12)$ には垂直接線をもつ。

(3) $y\leqq0$ の枝は $\frac{2\pi}{3}\leqq t\leqq\pi$ である。したがって囲まれた面積は
$$-\int_{x=0}^{\sqrt3/2} y\,dx =\int_{2\pi/3}^{\pi} \sin t\cos(t-\frac\pi6)\cos t\,dt.$$
$$\sin t\cos(t-\frac\pi6)\cos t=\frac{\sqrt3}{2}\sin t\cos^2t+\frac12\sin^2t\cos t,$$
ゆえに原始関数を $-\frac{\sqrt3}{6}\cos^3t+\frac16\sin^3t$ とできる。よって面積は
$$\left[-\frac{\sqrt3}{6}\cos^3t+\frac16\sin^3t\right]_{2\pi/3}^{\pi}=\frac{\sqrt3}{12}.$$