2神戸大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1)

$f(x)=0$ が異なる 2 つの正の解をもつ条件を求める。
異なる 2 つの実数解をもつので、判別式は $a^{2}-4b>0$ である。
2 解を $\alpha$、$\beta$ とすると、解と係数の関係より $\alpha+\beta=-a$、$\alpha\beta=b$ である。2 解がともに正ならば、和と積はともに正なので、$-a>0$、$b>0$ が必要である。
逆に、$a^{2}-4b>0$、$-a>0$、$b>0$ ならば、2 解は実数で、積 $b$ が正なので同符号であり、和 $-a$ が正なので、ともに正となる。
したがって求める条件は $a<0$ かつ $0<b<\dfrac{a^{2}}{4}$ である。

(2)

2 解の実部がともに負となる条件を、判別式の符号で場合分けして求める。
(i) $a^{2}-4b\geqq 0$ のとき
2 解は実数である。2 解がともに負ならば、和 $-a$ は負、積 $b$ は正である。逆に $a>0$、$b>0$ ならば、積が正で和が負なので、2 解はともに負である。
(ii) $a^{2}-4b<0$ のとき
2 解は互いに共役な虚数解で、実部は $-\dfrac{a}{2}$ である。実部が負となるのは $a>0$ のときであり、このとき $b>\dfrac{a^{2}}{4}>0$ となる。
(i)、(ii) より、求める条件は $a>0$ かつ $b>0$ である。
図で言えば、$ab$ 平面の第 1 象限の部分である。$a$ 軸の正の部分と $b$ 軸の正の部分に挟まれた範囲で、両軸の上は含まない。

(3)

2 解の実部がともに $-1$ より大きく $0$ より小さい条件を求める。
まず、2 解が虚数解のとき（$a^{2}-4b<0$）、実部は $-\dfrac{a}{2}$ であり、$-1<-\dfrac{a}{2}<0$、すなわち $0<a<2$ であることが必要十分である。
次に、2 解が実数のとき（$a^{2}-4b\geqq 0$）、2 解がともに区間 $-1<x<0$ に入る条件は、次の 3 つが成り立つことと同じである。
・軸 $x=-\dfrac{a}{2}$ が区間 $-1<x<0$ にある。すなわち $0<a<2$
・$f(0)=b>0$
・$f(-1)=1-a+b>0$
次に、必要条件を確かめる。虚数解のときは $f(x)>0$ がすべての実数 $x$ で成り立つので、$f(0)=b>0$、$f(-1)=1-a+b>0$ が成り立つ。実数解のときは、$-1$ と $0$ が 2 解の外側にあるので、$f(-1)>0$、$f(0)>0$ が成り立つ。どちらの場合も $0<a<2$、$b>0$、$b>a-1$ が必要である。
逆に、$0<a<2$、$b>0$、$b>a-1$ ならば、虚数解の場合は、$0<a<2$ より実部 $-\dfrac{a}{2}$ が条件を満たす。実数解の場合は、上の 3 つの条件と判別式 $a^{2}-4b\geqq 0$ が成り立つので、2 解はともに区間内にある。
したがって求める範囲は、$0<a<2$、$b>0$、$b>a-1$ で、境界を含まない。
$ab$ 平面では、$a$ が 0 より大きく 2 より小さい範囲で、$b$ が $0$ と $a-1$ のうち大きい方より大きい部分である。$0<a\leqq 1$ では $b>0$、$1<a<2$ では $b>a-1$ となる、上方に広がる帯状の領域（両側の境界を含まない）である。