III順天堂大学 2023年 数学 第III問解答・解説

整式の除法と恒等式を使い，(2)を次数に関する数学的帰納法で示す。(3)は割り算の余りを消し，(4)は反例で十分性を否定する。

(1) $s$ の整式として割り算を行うと
$$A=(s+t)(s^2+st+2t^2)+2t^3.$$
実際，右辺を展開すると $s^3+2s^2t+3st^2+4t^3=A$。従って商は $s^2+st+2t^2$，余りは $2t^3$。

(2) $s$ に関する次数について数学的帰納法で示す。$n=0$ のとき $P(s,t)=f_0(t)$ なので，$Q(s,t)=0,\ R(t)=f_0(t)$ とすればよい。
$n\geqq1$ とし，次数が $n-1$ 以下の整式では表示できると仮定する。恒等式
$$s^n-t^n=(s-t)(s^{n-1}+s^{n-2}t+\cdots+t^{n-1})$$
を使うと
$$P(s,t)=f_n(t)(s^n-t^n)+\widetilde P(s,t),$$
ただし
$$\widetilde P(s,t)=f_n(t)t^n+f_{n-1}(t)s^{n-1}+\cdots+f_0(t)$$
は $s$ について次数 $n-1$ 以下である。帰納法の仮定から
$$\widetilde P(s,t)=Q_1(s,t)(s-t)+R(t)$$
と書ける。従って
$$P(s,t)= \left(f_n(t)(s^{n-1}+s^{n-2}t+\cdots+t^{n-1})+Q_1(s,t)\right)(s-t)+R(t),$$
ここで括弧内は $s,t$ の整式，$R(t)$ は $t$ の整式である。これで帰納法が完成した。

(3) 条件 $P(x,y)=-P(y,x)$ に $x=y=t$ を代入すると
$$P(t,t)=-P(t,t),$$
従って $P(t,t)=0$ である。(2)より
$$P(s,t)=Q(s,t)(s-t)+R(t)$$
と書ける。ここで $s=t$ とおけば $P(t,t)=R(t)$ だから $R(t)=0$。よって $P(s,t)=Q(s,t)(s-t)$ となり，$(s-t)$ は因数である。

(4) $P(s,t)=(s-t)^2$ とする。これは $(s-t)(s-t)$ と表せるので、$(s-t)$ を因数にもつ。一方，
$$P(1,0)=1,\qquad -P(0,1)=-1$$
なので $P(x,y)=-P(y,x)$ は成り立たない。従って因数をもつことは反対称性の十分条件ではない。