1香川大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(3)

元の関係を $a_{n+2}$ について解くには $a_{n}>0$ を使える。$a_{1}=1=2^{1}-1$、$a_{2}=3=2^{2}-1$ を基底とし、$a_{n}=2^{n}-1$、$a_{n+1}=2^{n+1}-1$ と仮定すると
$$a_{n+2}=\dfrac{(2^{n+1}-1)^{2}-2^{n}}{2^{n}-1}=2^{n+2}-1.$$
ここでは $(2^{n+1}-1)^{2}-2^{n}=(2^{n}-1)(2^{n+2}-1)$ を用いた。よって帰納法で一般項が成り立つ。

(1)

これを代入すると $a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_{n}=0$ である。

(2)

また $d_{n}=a_{n+1}-a_{n}=2^{n}$ だから、(2) の等式は $d_{n+1}=-\beta d_{n}$ と同値である。$\dfrac{d_{n+1}}{d_{n}}=2$ より $\beta=-2$ である。