4大阪公立大学 2023年 数学 第4問解答・解説

第4問

(1)

$0<j<p$ なので、$p$ は $j$ で割り切れない。また
$$j\,{}_{p}\mathrm{C}_{j}=p\,{}_{p-1}\mathrm{C}_{j-1}$$
であり、右辺は $p$ で割り切れる。左辺も $p$ で割り切れ、$p$ は素数で $j$ は $p$ で割り切れないから、ユークリッドの補題により $p$ は ${}_{p}\mathrm{C}_{j}$ で割り切れる。

(2)

二項定理より
$$(m+1)^{p}-m^{p}-1=\displaystyle\sum_{j=1}^{p-1}{}_{p}\mathrm{C}_{j}\,m^{p-j}.$$
(1) から各項の二項係数が $p$ で割り切れるので、右辺全体も $p$ で割り切れる。

(3)

$m=0$ なら $m^{p}-m=0$ である。正の整数については数学的帰納法を用いる。$m=1$ では $1^{p}-1=0$ である。ある $m\geqq1$ について $m^{p}-m$ が $p$ で割り切れると仮定する。(2) から $(m+1)^{p}-m^{p}-1$ も $p$ で割り切れるので、これらを加えると $(m+1)^{p}-(m+1)$ も $p$ で割り切れる。よって全ての自然数 $m$ について $m^{p}-m$ は $p$ で割り切れる。
さらに $m$ が $p$ で割り切れないとき、
$$m^{p}-m=m(m^{p-1}-1)$$
であり、左辺は $p$ で割り切れる。素数 $p$ は $m$ で割り切れないから、ユークリッドの補題により $m^{p-1}-1$ は $p$ で割り切れる。

(4)

$$a=4n^{2}+4n-1=(2n+1)^{2}-2.$$
$a$ と $2n+1$ の公約数は、この式から $2$ の約数でもある。一方 $2n+1$ は奇数なので、$2$ と $2n+1$ は互いに素である。従って $a$ と $2n+1$ の公約数は $1$ だけである。よって $a$ と $2n+1$ は互いに素である。

(5)

$p$ が $a$ を割り切る $a\in S$ を取り、$a=(2n+1)^{2}-2$ とおく。(4) から $a$ と $2n+1$ は互いに素であるため、$p$ が $a$ を割り切るなら $2n+1$ は $p$ で割り切れない。また
$$(2n+1)^{2}\equiv2\pmod p.$$
(3) の結果を $m=2n+1$ に適用すると
$$(2n+1)^{p-1}\equiv1\pmod p.$$
$p$ は 3 以上の素数なので $\dfrac{p-1}{2}$ は整数であり、
$$(2n+1)^{p-1}=\left((2n+1)^{2}\right)^{(p-1)/2}\equiv2^{(p-1)/2}\pmod p.$$
従って
$$2^{(p-1)/2}\equiv1\pmod p$$
すなわち $2^{(p-1)/2}-1$ は $p$ で割り切れる。