4岐阜大学 2023年 数学 第4問解答・解説

$f(x)=xe^{x}$、$g(x)=x^{2}e^{x}$ とする。ただし、$e$ は自然対数の底である。$f(x)$、$g(x)$ の第 $n$ 次導関数をそれぞれ $f^{(n)}(x)$、$g^{(n)}(x)$ $(n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ とする。以下の問に答えよ。

(1) $f^{(1)}(x)$、$f^{(2)}(x)$、$f^{(3)}(x)$ を求めよ。

(2) $f^{(n)}(x)$ を推測し、それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。また、曲線 $y=f^{(n)}(x)$ と $x$ 軸の共有点の個数を求めよ。

(3) $g^{(n)}(x)$ は、実数 $p_{n}$、$q_{n}$ を用いて $g^{(n)}(x)=(x^{2}+p_{n}x+q_{n})e^{x}$ と表せることを数学的帰納法を用いて示せ。

(4) $g^{(n)}(x)$ を求めよ。また、曲線 $y=g^{(n)}(x)$ と $x$ 軸の共有点の個数を求めよ。