3神戸大学 2023年 数学 第3問解答・解説

1 から $2n$ までの整数には、奇数が $n$ 個、偶数が $n$ 個ある。また、同時に取り出す 2 枚または 3 枚の組合せは、それぞれ全て同様に確からしい。

(1) 和が偶数となるのは、2 枚がともに奇数またはともに偶数のときである。したがって、求める確率は
$$\dfrac{{}_{n}\mathrm{C}_{2}+{}_{n}\mathrm{C}_{2}}{{}_{2n}\mathrm{C}_{2}} =\dfrac{n(n-1)}{n(2n-1)} =\dfrac{n-1}{2n-1}.$$

(2) 3 枚の和が偶数となるのは、奇数のカードを 0 枚または 2 枚取り出すときである。よって求める確率は
$$\dfrac{{}_{n}\mathrm{C}_{3}+{}_{n}\mathrm{C}_{2}\,{}_{n}\mathrm{C}_{1}}{{}_{2n}\mathrm{C}_{3}} =\dfrac{\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}+\dfrac{n^{2}(n-1)}{2}}{\dfrac{(2n)(2n-1)(2n-2)}{6}} =\dfrac{\dfrac{n(n-1)(2n-1)}{3}}{\dfrac{2n(n-1)(2n-1)}{3}} =\dfrac{1}{2}.$$
ここで $n=2$ のときも ${}_{n}\mathrm{C}_{3}=0$ で、同じ式が成り立つ。

(3) 取り出した 2 枚を $\{a,b\}$（$a\ne b$）とし、$\{a,b\}$ を $\{2n+1-a,\,2n+1-b\}$ に対応させる。この対応はカードの組合せ全体を自分自身へ移す 1 対 1 の対応であり、和 $s=a+b$ は $4n+2-s$ に移る。したがって、和が $2n+1$ より大きい組合せと、$2n+1$ より小さい組合せは同数である。和がちょうど $2n+1$ となる組合せは
$$\{1,2n\},\ \{2,2n-1\},\ \cdots,\ \{n,n+1\}$$
の $n$ 通りである。全組合せ数は ${}_{2n}\mathrm{C}_{2}=n(2n-1)$ だから、和が $2n+1$ 以上となる組合せ数は
$$\dfrac{{}_{2n}\mathrm{C}_{2}+n}{2}=n^{2}.$$
よって求める確率は
$$\dfrac{n^{2}}{{}_{2n}\mathrm{C}_{2}}=\dfrac{n}{2n-1}.$$
以上。