1広島大学 2024年 数学 第1問解答・解説

$A,\,B,\,C,\,D,\,E$の5人が、それぞれゲーム$\alpha$とゲーム$\beta$の2種類のゲームを行った。ゲーム$\alpha$の得点を$x$、ゲーム$\beta$の得点を$y$で表す。下の表はそれぞれのゲームにおける得点である。ただし、$a,\,b$は整数である。なお、得点が負になることもあり得る。

$$\begin{array}{c|ccccc} & A & B & C & D & E\\ \hline \text{得点 }x & 7 & 6 & 8 & a & 4\\ \text{得点 }y & 0 & -4 & -1 & 2 & b \end{array}$$

ゲーム$\alpha$の得点$x$の平均値は7であるとし、ゲーム$\beta$の得点$y$の平均値を$m$とする。次の問いに答えよ。

(1) $a$の値を求めよ。

(2) $p,\,q$は実数で、$p\neq0$とする。ゲーム$\beta$の得点$y$を$z=py+q$により変換し、新たな変量$z$を作成する。$z$の分散を$s_{z}^{2}$、二つの変量$x,\,z$の共分散を$s_{xz}$とする。このとき、$s_{z}^{2}$と$s_{xz}$を$p,\,q,\,m$のうちの必要なものを用いて表せ。ただし、変量$x$と$z$の共分散は$x$の偏差と$z$の偏差の積の平均値である。

(3) 変量$x$と(2)で作った変量$z$の相関係数が$\dfrac{3}{4}$であるとき、$m$と$b$の値を求めよ。また、$p$が正であるか負であるかを答えよ。